如图,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C,抛物线y=-x2+bx+c经过点B、C,点A是抛物线与x轴的另一个交点. (1)求抛物线的解析式;(2)求△

如图,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C,抛物线y=-x2+bx+c经过点B、C,点A是抛物线与x轴的另一个交点. (1)求抛物线的解析式;(2)求△

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如图,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C,抛物线y=-x2+bx+c经过点B、C,点A是抛物线与x轴的另一个交点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△ABC的面积;
(3)若P是抛物线上一点,且S△ABP=
1
2
S△ABC,这样的点P有______个.
答案
(1)∵直线y=-x+3经过B、C两点,∴B(3,0),C(0,3);
已知抛物线经过B、C两点,则有:





-9+3b+c=0
c=3

解得





b=2
c=3

∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3;

(2)令(1)所得的抛物线中y=0,得-x2+2x+3=0,
解得x=-1,x=3;
∴A(-1,0),
又∵B(3,0),C(0,3),
∴AB=4,OC=3;
S△ABC=
1
2
AB•OC=
1
2
×4×3=6;

(3)∵S△ABC=
1
2
AB•OC,S△ABP=
1
2
AB•|yP|,且S△ABP=
1
2
S△ABC
∴|yP|=
1
2
OC=1.5,
即P点的纵坐标为±1.5;
由函数的图象知,符合条件的P点共有4个.
举一反三
已知:矩形OABC中,A(6,0),B(6,4),F为AB边的中点,直线EF交边BC于E,且sin∠BEF=


5
5
,P为线段EF上一动点,PM⊥OA于M,PN⊥OC于N.
(1)求直线EF的函数解析式并注明自变量取值范围;
(2)求矩形ONPM的面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)矩形ONPM、矩形OABC有可能相似吗?若相似,求出此时点P的坐标;若不相似,请简要说明理由.
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如图,直线y=-
3
4
x经过抛物线y=ax2+8ax-3的顶点M,点P(x,y)是抛物线上的动点,点Q是抛物线对称轴上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当PQOM时,设线段PQ的长为d,求d关于x的函数解析式;
(3)当以P、Q、O、M四点为顶点的四边形是平行四边形时,求P、Q两点的坐标.
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蔬菜基地种植某种蔬菜,由市场行情分析知,1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x(月份)与市场售价p(元/千克)的关系如下表:
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上市时间x(月份)123456
市场售价p(元/千克)10.597.564.53
已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示,四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(10,0),B(8,2


3
),C(0,2


3
),点P在线段OA上(不与O、A重合),将纸片折叠,使点A落在射线AB上(记为点A’),折痕PQ与射线AB交于点Q,设OP=x,折叠后纸片重叠部分的面积为y.(图②供探索用)
(1)求∠OAB的度数;
(2)求y与x的函数关系式,并写出对应的x的取值范围;
(3)y存在最大值吗?若存在,求出这个最大值,并求此时x的值;若不存在,说明理由.
如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P,与x轴交点为A、B,与y轴交点为C,连接BP并延长交y轴于点D.
(1)写出点P的坐标;
(2)连接AP,如果△APB为等腰直角三角形,求a的值及点C、D的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接BC、AC、AD,点E(0,b)在线段CD(端点C、D除外)上,将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°,得到一个新三角形.设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S,根据不同情况,分别用含b的代数式表示S,选择其中一种情况给出解答过程,其它情况直接写出结果;判断当b为何值时,重叠部分的面积最大写出最大值.