(1)∵两底边OA=10,CB=8,垂直于底的腰 OC=2, ∴tan∠OAB==, ∴∠OAB=60°.
(2)当点A′在线段AB上时, ∵∠OAB=60°,PA=PA′, ∴△A′PA是等边三角形,且QP⊥QA′, ∴PQ=(10-x)sin60°=(10-x),A′Q=AQ=AP=(10-x), ∴y=S△AQP=A′Q•QP=(10-x)2, 当A´与B重合时,AP=AB==4, 所以此时6≤x<10; 当点A′在线段AB的延长线,且点Q在线段AB(不与B重合)上时, 纸片重叠部分的图形是四边形(如图②,其中E是PA′与CB的交点), 当点Q与B重合时,AP=2AB=8,点P的坐标是(2,0), 又由(2)中求得当A´与B重合时,P的坐标是(6,0), 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时,2<x<6;
(3)y存在最大值. ①当6≤x<10时,y=(10-x)2, 在对称轴x=10的左边,S的值随着x的增大而减小, ∴当x=6时,y的值最大是2 ; ②当2≤x<6时,由图②,重叠部分的面积y=S△A′QP-S△A′EB, ∵△A′EB的高是A′B•sin60°, ∴y=(10-x)2-(10-x-4)2×=(-x2+4x+28)=-(x-2)2+4 , 当x=2时,y的值最大是4 ; ③当0<x<2,即当点A′和点Q都在线段AB的延长线是(如图③,其中E是PA´与CB的交点,F是QP与CB的交点), ∵∠EFP=∠FPQ=∠EPF,四边形EPAB是等腰形, ∴EF=EP=AB=4, ∴y=EF•OC=×4×2 =4 . 综上所述,S的最大值是4 ,此时x的值是0<x≤2.
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