(1)分别把A(1,0)、B(3,0)两点坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组, 解之得:b=-4,c=3, ∴抛物线的对称轴为:直线x=2;
(2)证明:抛物线的解析式为y=x2-4x+3, 当x=0时,y=3 ∴C点坐标为(0,3), 而y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴抛物线顶点D点坐标为(2,-1). ∴tan∠DOF=; 设抛物线的对称轴DE交x轴于点F, ∴F点坐标为(2,0),连接OD,DB,BE. ∵△OBC是等腰直角三角形,OE⊥BC, ∴∠EOB=45°,而OF=2,EF⊥OB, ∴EF=2, ∴E点坐标为(2,2), ∴tan∠FBE=2, ∴∠DOF≠∠FBE, ∴DO与EB不平行. 而△DFB也是等腰直角三角形, ∴∠BOE=∠OBD=45°, ∴OE∥BD, ∴四边形ODBE是梯形.(5分) 在Rt△ODF和Rt△EBF中, OD===,BE===, ∴OD=BE, ∴四边形ODBE是等腰梯形.(7分)
(3)存在.理由如下:(8分) 由题意得:S四边形ODBE=OB•DE=×3×3=.(9分) 设点Q坐标为(x,y). 由题意得:S三角形OBQ=OB•|y|=|y|,S四边形ODBE=×=, ∴y=±1. 当y=1时,即x2-4x+3=1, ∴x1=2+,x2=2-, ∴Q点坐标为(2+,1)或(2-,1)(11分) 当y=-1时,即x2-4x+3=-1, ∴x=2, ∴Q点坐标为(2,-1),即为顶点D. 综上所述,抛物线上存在三点Q1(2+,1),Q2(2-,1),Q3(2,-1). 使得S三角形OBQ=S四边形ODBE.(12分)
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