抛物线y=mx2+(m-3)x-3(m>0)与x轴交于A、B两点,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C,OB=OC.(1)求这条抛物线的解析式;(2)若点P(x1
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抛物线y=mx2+(m-3)x-3(m>0)与x轴交于A、B两点,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C,OB=OC. (1)求这条抛物线的解析式; (2)若点P(x1,b)与点Q(x2,b)在(1)中的抛物线上,且x1<x2,PQ=n. ①求4x12-2x2n+6n+3的值; ②将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折,抛物线的其它部分保持不变,得到一个新图象.当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时,b的取值范围是______. |
答案
(1)解法一:∵抛物线y=mx2+(m-3)x-3(m>0)与y轴交于点C, ∴C(0,-3), ∵抛物线与x轴交于A、B两点,OB=OC, ∴B(3,0)或B(-3,0), ∵点A在点B的左侧,m>0, ∴抛物线经过点B(3,0), ∴0=9m+3(m-3)-3, ∴m=1, ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3. 解法二:令y=0,∴mx2+(m-3)x-3=0.∴(x+1)(mx-3)=0. ∴x=-1,x=, ∵m>0,点A在点B的左侧, ∴A(-1,0),B(,0), 令x=0,可得y=-3, ∴C(0,-3), ∴OC=3, ∵OB=OC, ∴=3, ∴m=1, ∴y=x2-2x-3. (2)①由抛物线y=x2-2x-3可知对称轴为x=1, ∵点P(x1,b)与点Q(x2,b)在这条抛物线上,且x1<x2,PQ=n, ∴x1=1-,x2=1+, ∴2x1=2-n,2x2=2+n, ∴原式=(2-n)2-(2+n)n+6n+3=7. ② 结合图形可得当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时,b的取值范围是:-4<b<-2或b=0. |
举一反三
用长为100cm的铁丝做一个矩形框子. (1)能做成矩形框的面积为800cm2吗?如果能求出长和宽,如果不能请说明理由. (2)请说明能围成的矩形最大面积是多少?为什么? |
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B,C两点. (1)求直线BC及抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标; (3)连接CD,求∠OCA与∠OCD两角和的度数. |
如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A、D),Q是BC边上的任意一点.连AQ、DQ,过P作PE∥DQ交AQ于E,作PF∥AQ交DQ于F. (1)求证:△APE∽△ADQ; (2)设AP的长为x,试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式,并求当P在何处时,S△PEF取得最大值,最大值为多少? (3)当Q在何处时,△ADQ的周长最小?(须给出确定Q在何处的过程或方法,不必给出证明) |
山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答: (1)若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,每千克核桃应降价多少元? (2)在(1)问的条件下,平均每天获利不变,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售? (3)写出每天总利润y与降价x元的函数关系式,为了使每天的利润最大,应降价多少元? |
如图,Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点B在y轴上OB=,∠BAO=30°,将Rt△AOB折叠,使OB边落在AB边上,点O与点D重合,折痕为BE. (1)求点E和点D的坐标; (2)求经过O、D、A三点的二次函数解析式; (3)设直线BE与(2)中二次函数图象的对称轴交于点F,M为OF中点,N为AF中点,在x轴上是否存在点P,使△PMN的周长最小,若存在,请求出点P的坐标和最小值;若不存在,请说明理由. |
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