如图，抛物线y=ax2+bx+c的交x轴于点A和点B（-2，0），与y轴的负半轴交于点C，且线段OC的长度是线段OA的2倍，抛物线的对称轴是直线x=1．（1）求

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如图，抛物线y=ax²+bx+c的交x轴于点A和点B（-2，0），与y轴的负半轴交于点C，且线

段OC的长度是线段OA的2倍，抛物线的对称轴是直线x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点（0，-5）且平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，以线段MN为一边抛物线上与M、N不重合的任意一点P（x，y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，请你求出S关于点P的纵坐标y的函数解析式；
（3）当0＜x≤

时，（2）中的平行四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵抛物线的对称轴x=1，B（-2，0）
∴A（4，0），OA=4
∴OC=2OA=8，即C点坐标为（0，-8）
设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4）
由于抛物线过C点，
则有a（0+2）（0-4）=-8，
即a=1
因此抛物线的解析式为y=（x+2）（x-4）=x²-2x-8；

（2）当y=-5时，x²-2x-8=-5，
解得x=3，x=-1
∴M、N的坐标分别为（3，-5），（-1，-5）
∴MN=4
∴S=4|y+5|；

（3）由于0＜x≤

，此时y＜0，且P与M、N不重合，因此可分两种情况进行讨论：
①当0＜x＜3时，
S=4（-5-y）=4（-5-x²+2x+8）=4（-x²+2x-1+4）=-4（x-1）²+16，
S_max=16；
②当3＜x≤

时，
S=4（5+y）=4（x²-2x-3）=4（x-1）²-16，
由于抛物线开口向上，且对称轴为x=-1，
因此当x=

时，S_max=

．
因此存在平行四边形的最大值，且最大值为16．

举一反三

如图，已知A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₀₉是x轴上的点，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₂₀₀₈A₂₀₀₉=1，分别过点A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₀₉作x轴的垂线交二次函数y=x²（x≥0）的图象于点P₁，P₂，P₃，…，P₂₀₀₉，若记△OA₁P₁的面积为S₁，过点P₁作P₁B₁⊥A₂P₂于点B₁，记△P₁B₁P₂的面积为S₂，过点P₂作P₂B₂⊥A₃P₃于点B₂，记△P₂B₂P₃的面积为S₃，…，依次进行下去，最后记△P₂₀₀₈B₂₀₀₈P₂₀₀₉的面积为S₂₀₀₉，则S₂₀₀₉-S₂₀₀₈=______．

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已知抛物线y=-x²+mx+n经过点A（1，0），B（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线与y轴交于点D，求△ABD的面积；
（3）当y＜0，直接写出自变量x的取值范围．

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两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED，按如图一所示的位置放置，点O与E重合．
（1）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点E运动到与点B重合时停止，设运动x秒后，Rt△AOB和Rt△CED的重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）当Rt△CED以（1）中的速度和方向运动，运动时间x=2秒时，Rt△CED运动到如图二所示的位置，若抛物线y=

x²+bx+c过点A，G，求抛物线的解析式；
（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上运动，试问点P在运动过程中是否存在点P到x轴或y轴的距离为2的情况？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC．在建立如图的平面直角坐标系中，A（4，0），B（3，2），点M从O点以每秒2个单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动，过点N作NP垂直于x轴于P点连接AC交NP于Q，连接MQ．
（1）写出C点的坐标；
（2）若动点N运动t秒，求Q点的坐标；（用含t的式子表示）
（3）其△AMQ的面积S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（4）当t取何值时，△AMQ的面积最大；
（5）当t为何值时，△AMQ为等腰三角形．

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如图，直线y=kx+b，与抛物线y=ax²交于A（1，m），B（-2，4）+y轴交与点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求S_△AOB；
（3）求

的值；
（4）判断点A是否在以BO为直径的圆上？并说明理由．

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