(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx(a≠0), ∵点A(7,0)、B(3,4)在抛物线上, ∴, 解得, ∴抛物线解析式y=-x2+x;
(2)过点C作CE⊥x轴于E, ∵A(7,0),B(3,4), ∴AB==4,∠BAO=45°, ∵AB绕A点顺时针旋转75°至AC, ∴∠CAE=180°-45°-75°=60°, ∴CE=4×=2,AE=4×=2, ∴OE=OA+AE=7+2, ∵点C在第一象限, ∴点C的坐标为(7+2,2);
(3)由勾股定理得,OB==5, ①OB是菱形的边时,点Q到x轴的距离为4+5=9, 所以,点Q的坐标(3,9); ②OB是菱形的对角线时,BQ=OB÷cos∠OBQ=÷=, 所以,点Q到x轴的距离为4-=, 所以,点Q的坐标为(3,), 综上所述,以O、B、Q、P为顶点的四边形是菱形,点Q的坐标为(3,9)或(3,);
(4)当点D在OA上时,MN=OA=, ①0<x≤时,重叠部分是△DMN的面积, △OAB的面积=×7×4=14, ∵MN∥OA, ∴△BMN∽△BOA, ∴=()2=()2=x2, ∴y=x2•14=x2, 当x=时,y最大且最大值为; ②<x<7时,连接BD交MN于F,交OA于G,设DM与OA相交于H,DN与OA相交于K, 由△BMN∽BOA得,=, 即=, 解得BF=x, 由翻折的性质得,BF=DF=x, ∴FG=4-x,DG=x-(4-x)=x-4, 由△DHK∽△DMN得,=, 即=, 解得HK=2x-7, 重叠部分面积y=S四边形MHKN=×(2x-7+x)×(4-x)=-x2+8x-14, 配方得,y=-(x-)2+, 当x=时,y最大且最大值为, 综上所述,y与x之间的函数关系式为y= | y=x2(0<x≤) | y=-x2+8x-14(<x<7) |
| | , ∵<, ∴当x=时,y最大且最大值为. |