(1)∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-3,0)和点B(2,0), ∴. 解得:. ∴抛物线的解析式为y=-x2-x+6.
(2)∵把x=0代入y=-x2-x+6,得y=6. ∴点C的坐标为(0,6). 设经过点B和点C的直线的解析式为y=mx+n,则 , 解得. ∴经过点B和点C的直线的解析式为:y=-3x+6. ∵点E在直线y=h上, ∴点E的坐标为(0,h). ∴OE=h. ∵点D在直线y=h上, ∴点D的纵坐标为h. 把y=h代入y=-3x+6,得h=-3x+6. 解得x=. ∴点D的坐标为(,h). ∴DE=. ∴S△BDE=•OE•DE=•h•=-(h-3)2+. ∵-<0且0<h<6, ∴当h=3时,△BDE的面积最大,最大面积是.
(3)存在符合题意的直线y=h. 设经过点A和点C的直线的解析式为y=kx+p,则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191020/20191020111859-30923.png) , 解得. 故经过点A和点C的直线的解析式为y=2x+6. 把y=h代入y=2x+6,得h=2x+6. 解得x=. ∴点F的坐标为(,h). 在△OFM中,OM=2,OF=,MF=. ①若OF=OM,则=2, 整理,得5h2-12h+20=0. ∵△=(-12)2-4×5×20=-256<0, ∴此方程无解. ∴OF=OM不成立. ②若OF=MF,则=, 解得h=4. 把y=h=4代入y=-x2-x+6,得-x2-x+6=4, 解得x1=-2,x2=1. ∵点G在第二象限, ∴点G的坐标为(-2,4). ③若MF=OM,则=2, 解得h1=2,h2=-(不合题意,舍去). 把y=h1=2代入y=-x2-x+6,得-x2-x+6=2. 解得x1=,x2=. ∵点G在第二象限, ∴点G的坐标为(,2). 综上所述,存在这样的直线y=2或y=4,使△OMF是等腰三角形,当h=4时,点G的坐标为(-2,4);当h=2时,点G的坐标为(,2). |