已知在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=-2x2+bx+c的图象经过点A(-3,0)和点B(0,6).(1)求此二次函数的解析式;(2)将这个二次函数的图象向
题型:不详难度:来源:
已知在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=-2x2+bx+c的图象经过点A(-3,0)和点B(0,6). (1)求此二次函数的解析式; (2)将这个二次函数的图象向右平移5个单位后的顶点设为C,直线BC与x轴相交于点D,求∠ABD的正弦值; (3)在第(2)小题的条件下,联结OC,试探究直线AB与OC的位置关系,并说明理由. |
答案
(1)由题意得,, 解得, 所以,此二次函数的解析式为y=-2x2-4x+6;
(2)∵y=-2x2-4x+6=-2(x+1)2+8, ∴函数y=2x2-4x+6的顶点坐标为(-1,8), ∴向右平移5个单位的后的顶点C(4,8), 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0), 则, 解得, 所以,直线BC的解析式为y=x+6, 令y=0,则x+6=0, 解得x=-12, ∴点D的坐标为(-12,0), 过点A作AH⊥BD于H, OD=12,BD===6, AD=-3-(-12)=-3+12=9, ∵∠ADH=∠BDO,∠AHD=∠BOD=90°, ∴△ADH∽△BDO, ∴=, 即=, 解得AH=, ∵AB===3, ∴sin∠ABD===;
(3)AB∥OC. 理由如下:方法一:∵BD=6,BC==2,AD=9,AO=3, ∴==3, ∴AB∥OC; 方法二:过点C作CP⊥x轴于P, 由题意得,CP=8,PO=4,AO=3,BO=6, ∴tan∠COP===2, tan∠BAO===2, ∴tan∠COP=tan∠BAO, ∴∠BAO=∠COP, ∴AB∥OC. |
举一反三
已知二次函数y=ax2(a≥1)的图象上两点A,B的横坐标分别为-1,2,O是坐标原点,如果△AOB是直角三角形,则△AOB的周长为______. |
在城市繁华中心地带的商铺内,放置统一尺寸大小的“格子柜”,任何人只需每月支付一定的费用,就可以租用一个柜子寄卖自己的物品,相当于拥有自己的一个“迷你实体店”,“格子店”以投入少、易操作为特点,吸引着众多淘宝店家. 张阿姨有格子柜40个,当每个格子柜的月租金为270元时,恰好全部租出.在此基础上,当每个格子柜的月租金提高10元时,格子柜就少租出一个,且没有租出的一个格子柜每月需支出费用20元,设每个格子柜的月租金为x(x≥270)元,月收益为y元(总收益=格子柜租金收入-未租出格子柜支出费用) (1)求y关于x的函数关系; (2)当月租金分别为300元和350元时,张阿姨的月收益分别是多少元?可以出租多少个格子柜?请你简单说明理由; (3)若张阿姨某月出租格子柜的总收益为11100元,则她这个月出租了多少个格子柜? |
如图所示,⊙O1和⊙O2外切于点C,AB是⊙O1和⊙O2的外公切线,A、B为切点,且∠ACB=90°.以AB所在直线为轴,过点C且垂直于AB的直线为轴建立直角坐标系,已知AO=4,OB=1. (1)分别求出A、B、C各点的坐标; (2)求经过A、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式; (3)如果⊙O1的半径是5,问这条抛物线的顶点是否落在两圆连心线O1O2上?如果在,请证明;如果不在,请说明理由.
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如图,有一个横截面是抛物线的运河,一次,运河管理员将一根长6m的钢管(AB)一端在运河底部A点,另一端露出水面并靠在运河边缘的B点,发现钢管4m浸没在水中(AC=4米),露出水面部分的钢管BC与水面部分的钢管BC与水面成30°的夹角(钢管与抛物线的横截面在同一平面内) (1)以水面所在直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系,求该运河横截面的抛物线解析式; (2)若有一艘货船从当中通过,已知货船底部最宽处为12米,吃水深(即船底与水面的距离)为1米,此时货船是否能安全通过该运河?若能,请说明理由;若不能,则需上游开闸放水提高水位,当水位上升多少米时,货船能顺利通过运河?(船与河床之间的缝隙忽略不计)
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如图所示,工人师傅要用长2米宽10厘米的塑钢条作窗户内的横、纵梁(没有余料)要使窗户内的透光部分面积最大,问窗户的两边长分别为多少?
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