已知二次函数y=ax2(a≥1)的图象上两点A,B的横坐标分别为-1,2,O是坐标原点,如果△AOB是直角三角形,则△AOB的周长为______.

已知二次函数y=ax2(a≥1)的图象上两点A,B的横坐标分别为-1,2,O是坐标原点,如果△AOB是直角三角形,则△AOB的周长为______.

题型:不详难度:来源:
已知二次函数y=ax2(a≥1)的图象上两点A,B的横坐标分别为-1,2,O是坐标原点,如果△AOB是直角三角形,则△AOB的周长为______.
答案
如图,作AF⊥OD,BD⊥OF,AE⊥BD,
点A(-1,a),B(2,4a),由勾股定理得,
OA=


a2+1
,OB=


4+16a2

∵AE=1+2=3,BE=BD-DE=4a-a=3a,
AB=


AE2+BE2
=


9+9a2

因为a≥1,故OA边最小,不能为斜边;
(1)若OB为斜边,则OB2=OA2+AB2
即4+16a2=a2+1+9+9a2
解得a1=1,a2=-1(不合题意,舍去),
△AOB的周长=


2
+


20
+


18
=4


2
+2


5


(2)若AB为斜边,则AB2=OA2+OB2
即9+9a2=a2+1+4+16a2
解得a=±


2
2
(a≥1,不合题意,舍去);
综上所知,△AOB的周长为(4


2
+2


5
).
故填:(4


2
+2


5
).
举一反三
在城市繁华中心地带的商铺内,放置统一尺寸大小的“格子柜”,任何人只需每月支付一定的费用,就可以租用一个柜子寄卖自己的物品,相当于拥有自己的一个“迷你实体店”,“格子店”以投入少、易操作为特点,吸引着众多淘宝店家.
张阿姨有格子柜40个,当每个格子柜的月租金为270元时,恰好全部租出.在此基础上,当每个格子柜的月租金提高10元时,格子柜就少租出一个,且没有租出的一个格子柜每月需支出费用20元,设每个格子柜的月租金为x(x≥270)元,月收益为y元(总收益=格子柜租金收入-未租出格子柜支出费用)
(1)求y关于x的函数关系;
(2)当月租金分别为300元和350元时,张阿姨的月收益分别是多少元?可以出租多少个格子柜?请你简单说明理由;
(3)若张阿姨某月出租格子柜的总收益为11100元,则她这个月出租了多少个格子柜?
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如图所示,⊙O1和⊙O2外切于点C,AB是⊙O1和⊙O2的外公切线,A、B为切点,且∠ACB=90°.以AB所在直线为轴,过点C且垂直于AB的直线为轴建立直角坐标系,已知AO=4,OB=1.
(1)分别求出A、B、C各点的坐标;
(2)求经过A、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(3)如果⊙O1的半径是5,问这条抛物线的顶点是否落在两圆连心线O1O2上?如果在,请证明;如果不在,请说明理由.
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如图,有一个横截面是抛物线的运河,一次,运河管理员将一根长6m的钢管(AB)一端在运河底部A点,另一端露出水面并靠在运河边缘的B点,发现钢管4m浸没在水中(AC=4米),露出水面部分的钢管BC与水面部分的钢管BC与水面成30°的夹角(钢管与抛物线的横截面在同一平面内)
(1)以水面所在直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系,求该运河横截面的抛物线解析式;
(2)若有一艘货船从当中通过,已知货船底部最宽处为12米,吃水深(即船底与水面的距离)为1米,此时货船是否能安全通过该运河?若能,请说明理由;若不能,则需上游开闸放水提高水位,当水位上升多少米时,货船能顺利通过运河?(船与河床之间的缝隙忽略不计)
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如图所示,工人师傅要用长2米宽10厘米的塑钢条作窗户内的横、纵梁(没有余料)要使窗户内的透光部分面积最大,问窗户的两边长分别为多少?
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如图,已知二次函数y=(x-m)2-4m2(m>0)的图象与x轴交于A、B两点.
(1)写出A、B两点的坐标(坐标用m表示);
(2)若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上,求二次函数的解析式;
(3)在(2)的基础上,设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点,求CD的长.
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