如图,顶点为A的抛物线y=a(x+2)2-4交x轴于点B(1,0),连接AB,过原点O作射线OM∥AB,过点A作AD∥x轴交OM于点D,点C为抛物线与x轴的另一
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如图,顶点为A的抛物线y=a(x+2)2-4交x轴于点B(1,0),连接AB,过原点O作射线OM∥AB,过点A作AD∥x轴交OM于点D,点C为抛物线与x轴的另一
题型:不详
难度:
来源:
如图,顶点为A的抛物线y=a(x+2)
2
-4交x轴于点B(1,0),连接AB,过原点O作射线OM
∥
AB,过点A作AD
∥
x轴交OM于点D,点C为抛物线与x轴的另一个交点,连接CD.
(1)求抛物线的解析式(关系式);
(2)求点A,B所在的直线的解析式(关系式);
(3)若动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动,设点P运动的时间为t秒,问:当t为何值时,四边形ABOP分别为平行四边形?等腰梯形?
(4)若动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动,同时动点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动时间为t秒,连接PQ.问:当t为何值时,四边形CDPQ的面积最小?并求此时PQ的长.
答案
(1)把(1,0)代入y=a(x+2)
2
-4,
得a=
4
9
.
∴y=
4
9
(x+2)
2
-4,
即y=
4
9
x
2
+
16
9
x-
20
9
.
(2)设直线AB的解析式是y=kx+b.
∵点A(-2,-4),点B(1,0),
∴
-2k+b=-4
k+b=0
解得
k=
4
3
b=-
4
3
∴y=
4
3
x-
4
3
.
(3)由题意得OP=t,AB=
(-2-1
)
2
+(-4-0
)
2
=5
.
若四边形ABOP为平行四边形,则OP=AB=5,即当t=5时,四边形ABOP为平行四边形.
若四边形ABOP为等腰梯形,连接AP,过点P作PG⊥AB,过点O作OH⊥AB,垂足分别为G、H.
∴△APG≌△BOH.
在Rt△OBM中,
∵OM=
4
3
,OB=1,
∴BM=
5
3
.
∴OH=
4
5
.
∴BH=
3
5
.
∴OP=GH=AB-2BH=
19
5
.
即当t=
19
5
时,四边形ABOP为等腰梯形.
(4)将y=0代入y=
4
9
x
2
+
16
9
x-
20
9
,得
4
9
x
2
+
16
9
x-
20
9
=0,
解得x=1或-5.
∴C(-5,0).
∴OC=5.
∵OM
∥
AB,AD
∥
x轴,
∴四边形ABOD是平行四边形.
∴AD=OB=1.
∴点D的坐标是(-3,-4).
∴S
△DOC
=
1
2
×5×4=10.
过点P作PN⊥BC,垂足为N.易证△OPN
∽
△BOH.
∴
PN
OH
=
OP
OB
,
即
PN
4
5
=
t
1
.
∴PN=
4
5
t.
∴四边形CDPQ的面积S=S
△DOC
-S
△OPQ
=10-
1
2
×(5-2t)×
4
5
t=
4
5
t
2
-2t+10.
∴当t=
5
4
时,四边形CDPQ的面积S最小.
此时,点P的坐标是(-
3
4
,-1),点Q的坐标是(-
5
2
,0),
∴PQ=
(-
5
2
+
3
4
)
2
+(0+1)
2
=
65
4
.
举一反三
如图,半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,点C的坐标为(1,0).若抛物线y=-
3
3
x
2
+bx+c过A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使得∠PBO=∠POB?若存在,求出点P的坐标;若不存在说明理由;
(3)若点M是抛物线(在第一象限内的部分)上一点,△MAB的面积为S,求S的最大(小)值.
题型:不详
难度:
|
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抛物线的图象如图,则它的函数表达式是______.当x______时,y>0.
题型:不详
难度:
|
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已知在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=-2x
2
+bx+c的图象经过点A(-3,0)和点B(0,6).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)将这个二次函数的图象向右平移5个单位后的顶点设为C,直线BC与x轴相交于点D,求∠ABD的正弦值;
(3)在第(2)小题的条件下,联结OC,试探究直线AB与OC的位置关系,并说明理由.
题型:不详
难度:
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已知二次函数y=ax
2
(a≥1)的图象上两点A,B的横坐标分别为-1,2,O是坐标原点,如果△AOB是直角三角形,则△AOB的周长为______.
题型:不详
难度:
|
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(1)求y关于x的函数关系;
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题型:不详
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题型分类
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