如图,半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,点C的坐标为(1,0).若抛物线y=-33x2+bx+c过A、B两点.(1)求抛物线的解析式
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如图,半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,点C的坐标为(1,0).若抛物线y=-33x2+bx+c过A、B两点.(1)求抛物线的解析式
题型:不详
难度:
来源:
如图,半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,点C的坐标为(1,0).若抛物线y=-
3
3
x
2
+bx+c过A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使得∠PBO=∠POB?若存在,求出点P的坐标;若不存在说明理由;
(3)若点M是抛物线(在第一象限内的部分)上一点,△MAB的面积为S,求S的最大(小)值.
答案
(1)如答图1,连接CB.
∵BC=2,OC=1
∴OB=
4-1
=
3
∴B(0,
3
)
将A(3,0),B(0,
3
)代入二次函数的表达式
得
-
3
3
×9+3b+c=0
c=
3
,解得
b=
2
3
3
c=
3
,
∴y=-
3
3
x
2
+
2
3
3
x+
3
.
(2)存在.
如答图2,作线段OB的垂直平分线l,与抛物线的交点即为点P
1
,P
2
.
∵B(0,
3
),O(0,0),
∴直线l的表达式为y=
3
2
.代入抛物线的表达式,
得-
3
3
x
2
+
2
3
3
x+
3
=
3
2
;
解得x
1
=1+
1
2
10
或x
2
=1-
1
2
10
,
∴P
1
(1-
10
2
,
3
2
)或P
2
(1+
10
2
,
3
2
).
(3)如答图3,作MH⊥x轴于点H.
设M(x
m
,y
m
),
则S
△MAB
=S
梯形MBOH
+S
△MHA
-S
△OAB
=
1
2
(MH+OB)•OH+
1
2
HA•MH-
1
2
OA•OB
=
1
2
(y
m
+
3
)x
m
+
1
2
(3-x
m
)y
m
-
1
2
×3×
3
=
3
2
x
m
+
3
2
y
m
-
3
2
3
∵y
m
=-
3
3
x
m
2
+
2
3
3
x
m
+
3
,
∴S
△MAB
=
3
2
x
m
+
3
2
(-
3
3
x
m
2
+
2
3
3
x
m
+
3
)-
3
2
3
=
-
3
2
x
m
2
+
3
2
3
x
m
=
-
3
2
(x
m
-
3
2
)
2
+
9
8
3
∴当x
m
=
3
2
时,S
△MAB
取得最大值,最大值为
9
8
3
.
举一反三
抛物线的图象如图,则它的函数表达式是______.当x______时,y>0.
题型:不详
难度:
|
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已知在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=-2x
2
+bx+c的图象经过点A(-3,0)和点B(0,6).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)将这个二次函数的图象向右平移5个单位后的顶点设为C,直线BC与x轴相交于点D,求∠ABD的正弦值;
(3)在第(2)小题的条件下,联结OC,试探究直线AB与OC的位置关系,并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知二次函数y=ax
2
(a≥1)的图象上两点A,B的横坐标分别为-1,2,O是坐标原点,如果△AOB是直角三角形,则△AOB的周长为______.
题型:不详
难度:
|
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在城市繁华中心地带的商铺内,放置统一尺寸大小的“格子柜”,任何人只需每月支付一定的费用,就可以租用一个柜子寄卖自己的物品,相当于拥有自己的一个“迷你实体店”,“格子店”以投入少、易操作为特点,吸引着众多淘宝店家.
张阿姨有格子柜40个,当每个格子柜的月租金为270元时,恰好全部租出.在此基础上,当每个格子柜的月租金提高10元时,格子柜就少租出一个,且没有租出的一个格子柜每月需支出费用20元,设每个格子柜的月租金为x(x≥270)元,月收益为y元(总收益=格子柜租金收入-未租出格子柜支出费用)
(1)求y关于x的函数关系;
(2)当月租金分别为300元和350元时,张阿姨的月收益分别是多少元?可以出租多少个格子柜?请你简单说明理由;
(3)若张阿姨某月出租格子柜的总收益为11100元,则她这个月出租了多少个格子柜?
题型:不详
难度:
|
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如图所示,⊙O
1
和⊙O
2
外切于点C,AB是⊙O
1
和⊙O
2
的外公切线,A、B为切点,且∠ACB=90°.以AB所在直线为轴,过点C且垂直于AB的直线为轴建立直角坐标系,已知AO=4,OB=1.
(1)分别求出A、B、C各点的坐标;
(2)求经过A、B、C三点的抛物线y=ax
2
+bx+c的解析式;
(3)如果⊙O
1
的半径是5,问这条抛物线的顶点是否落在两圆连心线O
1
O
2
上?如果在,请证明;如果不在,请说明理由.
题型:不详
难度:
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