如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点

如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点

题型:不详难度:来源:
如图所示,已知在直角梯形OABC中,ABOC,BC⊥x轴于点C,A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA,垂足为Q.设P点移动的时间为t秒(0<t<4),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(4)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx(a≠0),将A.B点坐标代入得出:





1=a+b
1=9a+3b

解得:





a=-
1
3
b=
4
3

故经过O、A、B三点的抛物线解析式为:y=-
1
3
x2+
4
3
x.

(2)①当0<t≤2时,重叠部分为△OPQ,过点A作AD⊥x轴于点D,
如图1.
在Rt△AOD中,AD=OD=1,∠AOD=45°.
在Rt△OPQ中,OP=t,∠OPQ=∠QOP=45°.
∴OQ=PQ=


2
2
t.
∴S=S△OPQ=
1
2
OQ•PQ=
1
2
×


2
2


2
2
t=
1
4
t2(0<t≤2);
②当2<t≤3时,设PQ交AB于点E,重叠部分为梯形AOPE,
作EF⊥x轴于点F,如图2.∵∠OPQ=∠QOP=45°
∴四边形AOPE是等腰梯形∴AE=DF=t-2.
∴S=S梯形AOPE=
1
2
(AE+OP)•AD=
1
2
(t-2+t)×1
=t-1(2<t≤3);
③当3<t<4时,设PQ交AB于点E,交BC于点F,
重叠部分为五边形AOCFE,如图3.
∵B(3,1),OP=t,∴PC=CF=t-3.
∵△PFC和△BEF都是等腰直角三角形
∴BE=BF=1-(t-3)=4-t
∴S=S五边形AOCFE=S梯形OABC-S△BEF
=
1
2
(2+3)×1-
1
2
(4-t)2
=-
1
2
t2+4t-
11
2
(3<t<4);

(3)连接QC,OB,
∵ABOC,
∴∠BAO+∠AOC=180°,
∵∠AOC=45°,∠OQP=90°,
∴∠QPO=45°,
∵∠QPO+∠QPC=180°,
∴∠BAO=∠QPC,
只要
PC
PQ
=
AO
AB
或者
PC
PQ
=
AB
AO
即可得出以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似,
得出:3-t=


2
2
×


2
2
t或3-t=


2
×


2
2
t
解得:t=2或t=
3
2


(4)存在,t1=1,t2=2.
将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,此时Q(t+
t
2
t
2
),O(t,t)
①当点Q在抛物线上时,
t
2
=-
1
3
×(t+
t
2
2+
4
3
×(t+
t
2
),
解得t=2;
②当点O在抛物线上时,t=-
1
3
t2+
4
3
t,
解得:t=1.
举一反三
已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B,若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O,C,D,B四点为顶点的四边形为平行四边形,则D点的坐标为______.
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已知抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点,当x≥0时,其图象如图所示.
(1)求抛物线的解析式,写出抛物线的顶点坐标;
(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象;
(3)利用抛物线y=ax2+bx+c,写出x为何值时,y>0.
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如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)与双曲线y=
k
x
相交于点A,B.已知点B的坐标为(-2,-2),点A在第一象限内,且tan∠AOx=4.过点A作直线ACx轴,交抛物线于另一点C.
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算△ABC的面积.
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如图,有长为48米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度25米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD.
(1)当AB的长是多少米时,围成长方形花圃ABCD的面积为180m2
(2)能围成总面积为240m2的长方形花圃吗?说明理由.
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在矩形ABCD中,点E是AD边上一点,连接BE,且∠ABE=30°,BE=DE,连接BD.点P从点E出发沿射线ED运动,过点P作PQBD交直线BE于点Q.
(1)当点P在线段ED上时(如图1),求证:BE=PD+


3
3
PQ;
(2)若BC=6,设PQ长为x,以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y,求y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(3)在②的条件下,当点P运动到线段ED的中点时,连接QC,过点P作PF⊥QC,垂足为F,PF交对角线BD于点G(如图2),求线段PG的长.
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