已知:抛物线y=ax2+bx+c经过原点(0,0)和A(1,-3),B(-1,5)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线与x轴的另一个交点为C,以OC为直

已知:抛物线y=ax2+bx+c经过原点(0,0)和A(1,-3),B(-1,5)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线与x轴的另一个交点为C,以OC为直

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已知:抛物线y=ax2+bx+c经过原点(0,0)和A(1,-3),B(-1,5)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线与x轴的另一个交点为C,以OC为直径作⊙M,如果过抛物线上一点P作⊙M的切线PD,切点为D,且与y轴的正半轴交点为E,连接MD,已知E点的坐标为(0,m),求四边形EOMD的面积(用含m的代数式表示);
(3)延长DM交⊙M于点N,连接ON,OD,当点P在(2)的条件下运动到什么位置时,能使得四边形EOMD和△DON的面积相等,请求出此时点P的坐标.
答案
(1)∵抛物线过O(0,0),A(1,-3),B(-1,5)三点,





c=0
a+b+c=-3
a-b+c=5

解得





a=1
b=-4
c=0

∴抛物线的解析式为y=x2-4x;

(2)抛物线y=x2-4x与x轴的另一个交点坐标为C(4,0),连接EM;
∴⊙M的半径为2,即OM=DM=2;
∵ED、EO都是⊙M的切线,
∴EO=ED,△EOM≌△EDM;
∴S四边形EOMD=2S△OME=2×
1
2
OM•OE=2m;

(3)延长DM交⊙M于点N,连接ON,OD,EM,
设点D的坐标为(x0,y0),
∵S△DON=2S△DOM=2×
1
2
OM×y0=2y0
当S四边形EOMD=S△DON时,即2m=2y0,m=y0
∵m=y0,EDx轴,
又∵ED为切线,
∴D点的坐标为(2,2);
∵P在直线ED上,故设P点的坐标为(x,2),
∵P在抛物线上,
∴2=x2-4x,
解得x=2±


6

∴P(2+


6
,2)或P(2-


6
,2)为所求.
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,


3
),点B的坐标(-2,0),点O为原点.
(1)求过点A,O,B的抛物线解析式;
(2)在x轴上找一点C,使△ABC为直角三角形,请直接写出满足条件的点C的坐标;
(3)将原点O绕点B逆时针旋转120°后得点O′,判断点O′是否在抛物线上,请说明理由;
(4)在x轴下方的抛物线上是否存在一点P,过点P作x轴的垂线,交直线AB于点E,线段OE把△AOB分成两个三角形,使其中一个三角形面积与四边形BPOE面积比为2:3,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
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抛物线的图象经过(0,3),(-2,-5)和(1,4)三点,则它的解析式为______.
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一个小服装厂生产某种风衣,售价P(元/件)与月销售量x(件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本R=500+30x元.
(1)该厂的月产量为多大时,获得的月利润为1300元?
(2)当月产量为多少时,可获得最大月利润?最大利润是多少元?
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已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n),其中m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,求C、D点的坐标和△BCD的面积;
(3)P是线段OC上一点,过点P作PH⊥x轴,交抛物线于点H,若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分,求P点的坐标.
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已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C(1,0),且与直线l:y=x+m交y轴于同一点B(0,1),与直线l交于另一点A,D为抛物线的对称轴与直线l的交点,P为线段AB上的一动点(不与点A、B重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点E.
(1)求抛物线和直线l的函数解析式,及另一交点A的坐标;
(2)求△ABE的最大面积是多少?
(3)问是否存在这样的点P,使四边形PECD为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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