已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C(0,3),过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D,抛物线的顶点为M,
题型:不详难度:来源:
已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C(0,3),过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D,抛物线的顶点为M,直线y=x+5经过D、M两点. (1)求此抛物线的解析式; (2)连接AM、AC、BC,试比较∠MAB和∠ACB的大小,并说明你的理由. |
答案
(1)∵CD∥x轴且点C(0,3), ∴设点D的坐标为(x,3), ∵直线y=x+5经过D点, ∴3=x+5, ∴x=-2, 即点D(-2,3), 根据抛物线的对称性,设顶点的坐标为M(-1,y), 又∵直线y=x+5经过M点, ∴y=-1+5,y=4、即M(-1,4), ∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4, ∵点C(0,3)在抛物线上, ∴a=-1, 即抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.(3分)
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(2)作BP⊥AC于点P,MN⊥AB于点N; 由(1)中抛物线y=-x2-2x+3可得: 点A(-3,0),B(1,0), ∴AB=4,AO=CO=3,AC=3, ∴∠PAB=45°; ∵∠ABP=45°, ∴PA=PB=2, ∴PC=AC-PA=; 在Rt△BPC中,tan∠BCP==2, 在Rt△ANM中,∵M(-1,4), ∴MN=4 、∴AN=2, tan∠NAM==2, ∴∠BCP=∠NAM, 即∠ACB=∠MAB.(8分) |
举一反三
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系 (1)求出这条抛物线的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; (2)隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带),其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆?请通过计算说明.
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某旅游胜地欲开发一座景观山.从山的侧面进行勘测,迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成,其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下,BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上.以过山脚(点C)的水平线为x轴、过山顶(点A)的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图(单位:百米).已知AB所在抛物线的解析式为y=-x2+8,BC所在抛物线的解析式为y=(x-8)2,且已知B(m,4). (1)设P(x,y)是山坡线AB上任意一点,用y表示x,并求点B的坐标; (2)从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶.这种台阶每级的高度为20厘米,长度因坡度的大小而定,但不得小于20厘米,每级台阶的两端点在坡面上(见图). ①分别求出前三级台阶的长度(精确到厘米); ②这种台阶不能一直铺到山脚,为什么? (3)在山坡上的700米高度(点D)处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站.索道的起点选择在山脚水平线上的点E处,OE=1600(米).假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线,解析式为y=(x-16)2. 试求索道的最大悬空高度. |
如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(6,0),(6,8).动点M、N分别从O、B同时出发,以每秒1个单位的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点N作NP⊥BC,交AC于P,连接MP.已知动点运动了x秒. (1)P点的坐标为多少;(用含x的代数式表示) (2)试求△MPA面积的最大值,并求此时x的值; (3)请你探索:当x为何值时,△MPA是一个等腰三角形?你发现了几种情况?写出你的研究成果.
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某饮料经营部每天的固定成本为200元,其销售的饮料每瓶进价为5元.销售单价与日均销售量的关系如下:
售价单价(元) | 6 | 7 | 8 | 9 | 11 | 12 | 日均销售量(瓶) | 480 | 440 | 400 | 360 | 320 | 240 | 如图,四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,剪掉阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使A、B、C、D四个点重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒. (1)若折叠后长方体底面正方形的面积为1250cm2,求长方体包装盒的高; (2)设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为x(cm),长方体的侧面积为S(cm2),求S与x的函数关系式,并求x为何值时,S的值最大.
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