已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),顶点C(1,-3),与x轴交于A,B两点,A(-1,0).(1)求这条抛物线的解析式;(2)如图,以AB为直径作圆,
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已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),顶点C(1,-3),与x轴交于A,B两点,A(-1,0).(1)求这条抛物线的解析式;(2)如图,以AB为直径作圆,
题型:不详
难度:
来源:
已知:抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0),顶点C(1,-3),与x轴交于A,B两点,A(-1,0).
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A,D,B,E,点P为线段AB上一个动点(P与A,B两点不重合),过点P作PM⊥AE于M,PN⊥DB于N,请判断
PM
BE
+
PN
AD
是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若点S是线段EP上一点,过点S作FG⊥EP,FG分别与边AE,BE相交于点F,G(F与A,E不重合,G与E,B不重合),请判断
PA
PB
=
EF
EG
是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
答案
(1)设抛物线的解析式为y=a(x-1)
2
-3(1分)
将A(-1,0)代入:0=a(-1-1)
2
-3,
解得a=
3
4
(2分)
所以,抛物线的解析式为y=
3
4
(x-1)
2
-3,即y=
3
4
x
2
-
3
2
x-
9
4
(3分)
(2)是定值,
PM
BE
+
PN
AD
=1(4分)
∵AB为直径,
∴∠AEB=90°,
∵PM⊥AE,
∴PM
∥
BE,
∴△APM
∽
△ABE,
所以
PM
BE
=
AP
AB
①
同理:
PN
AD
=
PB
AB
②(5分)
①+②:
PM
BE
+
PN
AD
=
AP
AB
+
PB
AB
=1
(6分)
(3)∵直线EC为抛物线对称轴,
∴EC垂直平分AB,
∴EA=EB,
∵∠AEB=90°,
∴△AEB为等腰直角三角形,
∴∠EAB=∠EBA=45°(7分)
如图,过点P作PH⊥BE于H,
由已知及作法可知,四边形PHEM是矩形.
∴PH=ME且PH
∥
ME.
在△APM和△PBH中,
∵∠AMP=∠PHB=90°,∠EAB=∠BPH=45°,
∴PH=BH,且△APM
∽
△PBH,
∴
PA
PB
=
PM
BH
,
∴
PA
PB
=
PM
PH
=
PM
ME
①(8分)
在△MEP和△EGF中,
∵PE⊥FG,
∴∠FGE+∠SEG=90°,
∵∠MEP+∠SEG=90°,
∴∠FGE=∠MEP,
∵∠PME=∠FEG=90°,
∴△MEP
∽
△EGF,
∴
PM
ME
=
EF
EG
②
由①、②知:
PA
PB
=
EF
EG
(9分)(本题若按分类证明,只要合理,可给满分)
举一反三
如图,已知抛物线y=mx
2
+nx+p与y=x
2
+6x+5关于y轴对称,与y轴交于点M,与x轴交于点A和B.
(1)y=mx
2
+nx+p的解析式为______,试猜想出与一般形式抛物线y=ax
2
+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式为______.
(2)A,B的中点是点C,则sin∠CMB=______.
(3)如果过点M的一条直线与y=mx
2
+nx+p图象相交于另一
点N(a,b),a,b满足a
2
-a+m=0,b
2
-b+m=0,则点N的坐标为______.
题型:不详
难度:
|
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已知二次函数y=ax
2
+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x
….
-1
0
1
2
4
…
y
….
0
-3
-4
3
5
….
题型:不详
难度:
|
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如图,在△ABC中,AB=BC=2,高BE=
3
,在BC边的延长线上取一点D,使CD=3.
(1)现有一动点P由A沿AB移动,设AP=t,S
△PCD
=S,求S与t之间的关系式及自变量t的取值范围.
(2)在(1)的条件下,当
t=
1
3
时,过点C作CH⊥PD于H,设K=7CH:9PD.求证:关于x的二次函数
y=-
x
2
-(10k-
3
)x+2k
的图象与x轴的两个交点关于原点对称.
(3)在(1)的条件下,是否存在正实数t,使PD边上的高
CH=
1
2
CD
?如果存在,请求出t的值;如果
不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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题型:不详
难度:
|
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如图所示,在平面直角坐标系中,点B的坐标为(-3,-4),线段OB绕原点逆时针旋转后
与x轴的正半轴重合,点B的对应点为点A.
(1)直接写出点A的坐标,并求出经过A,O,B三点的抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C,使BC+OC的值最小?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如果点P是抛物线上的一个动点,且在x轴的上方,当点P运动到什么位置时,△PAB的面积最大?求出此时点P的坐标和△PAB的最大面积.
题型:不详
难度:
|
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