如图,已知直线y=13x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD.(1)点C的坐标是______线段AD的长等于___

如图,已知直线y=13x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD.(1)点C的坐标是______线段AD的长等于___

题型:不详难度:来源:
如图,已知直线y=
1
3
x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD.
(1)点C的坐标是______线段AD的长等于______;
(2)点M在CD上,且CM=OM,抛物线y=x2+bx+c经过点C,M,求抛物线的解析式;
(3)如果点E在y轴上,且位于点C的下方,点F在直线AC上,那么在(2)中的抛物线上是否存在点P,使得以C,E,F,P为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出该菱形的周长l;若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵直线y=
1
3
x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴y=0时,x=-3,x=0时,y=1,
∴A点坐标为:(-3,0),B点坐标为:(0,1),
∴OC=3,DO=1,
∴点C的坐标是(0,3),线段AD的长等于4;

(2)∵CM=OM,
∴∠OCM=∠COM.
∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°,
∴∠ODM=∠MOD,
∴OM=MD=CM,
∴点M是CD的中点,
∴点M的坐标为(
1
2
3
2
).
(说明:由CM=OM得到点M在OC在垂直平分线上,所以点M的纵坐标为
3
2
,再求出直线CD的解析式,进而求出点M的坐标也可.)
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C,M,





c=3
1
4
+
1
2
b+c=
3
2

解得:





b=-
7
2
c=3

∴抛物线y=x2+bx+c的解析式为:y=x2-
7
2
x+3.

(3)抛物线上存在点P,使得以C,E,F,P为顶点的四边形是菱形.
情形1:如图1,当点F在点C的左边时,四边形CFEP为菱形.

∴∠FCE=∠PCE,
由题意可知,OA=OC,
∴∠ACO=∠PCE=45°,
∴∠FCP=90°,
∴菱形CFEP为正方形.
过点P作PH⊥CE,垂足为H,
则Rt△CHP为等腰直角三角形.
∴CP=


2
CH=


2
PH.
设点P为(x,x2-
7
2
x+3),则OH=x2-
7
2
x+3,PH=x,
∵PH=CH=OC-OH,
∴3-(x2-
7
2
x+3)=x,
解得:x=
5
2

∴CP=


2
CH=
5
2
×


2
=
5


2
2

∴菱形CFEP的周长l为:
5


2
2
×4=10


2

情形2:如图2,当点F在点C的右边时,四边形CFPE为菱形.

∴CF=PF,CEFP.
∵直线AC过点A(-3,0),点C(0,3),
∴直线AC的解析式为:y=x+3.
过点C作CM⊥PF,垂足为M,
则Rt△CMF为等腰直角三角形,CM=FM.
延长PF交x轴于点N,
则PN⊥x轴,∴PF=FN-PN,
设点P为(x,x2-
7
2
x+3),则点F为(x,x+3),
∴FC=


2
x,FP=(x+3)-(x2-
7
2
x+3)=-x2+
9
2
x,


2
x=-x2+
9
2
x,
解得:x=
9
2
-


2

∴FC=


2
x=
9


2
2
-2,
∴菱形CFEP的周长l为:(
9


2
2
-2)×4=18


2
-8.
综上所述,这样的菱形存在,它的周长为10


2
或18


2
-8.
举一反三
已知在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2-bx+c(b>0)的图象经过点A(-1,b),与y轴相交于点B,且∠ABO的余切值为3.
(1)求点B的坐标;
(2)求这个函数的解析式;
(3)如果这个函数图象的顶点为C,求证:∠ACB=∠ABO.
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如图,点A在抛物线y=
1
4
x2上,过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点B,延长AO,BO分别与抛物线y=-
1
8
x2相交于点C,D,连接AD,BC,设点A的横坐标为m,且m>0.
(1)当m=1时,求点A,B,D的坐标;
(2)当m为何值时,四边形ABCD的两条对角线互相垂直;
(3)猜想线段AB与CD之间的数量关系,并证明你的结论.
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如图,英华学校准备围成一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃,现有长为24m的篱笆,一面靠墙(墙长为10m),设花圃宽AB为x(m),面积为S(m2).
(1)求S与x的函数关系式;
(2)如果要围成面积为45m2的花圃,AB的长是多少;
(3)能围出比45m2更大的花圃吗?若能,求出最大的面积;若不能,请说明理由.
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如图,三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数y=-
3
4
x+3的图象与y轴、x轴的交点,点B在二次函数y=
1
8
x2+bx+c
的图象上,且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.
(1)试求b,c的值,并写出该二次函数表达式;
(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:
①当P运动到何处时,有PQ⊥AC?
②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?
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如图,关于x的二次函数y=x2-2mx-m-2的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点(x1<0<x2),与y轴交于C点
(1)当m为何值时,AC=BC;
(2)当∠BAC=∠BCO时,求这个二次函数的表达式.
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