如图所示的平面直角坐标系中，有一条抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）．（1）求

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如图所示的平面直角坐标系中，有一条抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点距离之和最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3），
∴

9a+3b+c=0

c=-3

，
解得：

a=1

b=-2

c=-3

，
∴二次函数y=ax²+bx+c的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）存在．

令y=0，即x²-2x-3=0，
解得：x=3或x=-1，
∴点A（-1，0），
∵点A与B关于x=1对称，
∴连接BC，则直线BC与直线x=1的交点即为P点，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴

b=-3

3k+b=0

，
解得：

b=-3

k=1

，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
当x=1时，y=1-3=-2，
∴点P的坐标为（1，-2）．

举一反三

如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B的左侧，A坐标为（-1，0）与y轴交于点C（0，3）△ABC的面积为6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，点N为x轴上一点，当以M，N，B为顶点的三角形与△ABC相似时，请你求出BN的长度；
（3）设抛物线的顶点为D在线段BC上方的抛物线上是否存在点P使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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数学课上，老师提出：
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x²的图象于点C和D，直

线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为x_C、x_D，点H的纵坐标为y_H．
同学发现两个结论：
①S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3 ②数值相等关系：x_C•x_D=-y_H
（1）请你验证结论①和结论②成立；
（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；
（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x²”改为“y=ax²（a＞0）”，其他条件不变，那么x_C、x_D与y_H有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）

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如图：一次函数y=-x+m的图象与二次函数y=ax²+bx-4的图象交于x轴上一点A，且交y轴于点B，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设二次函数y=ax²+bx-4的对称轴为直线x=n（n＜0），n是方程2x²-3x-2=0的一个根，求二次函数的解析式；
（3）在（2）条件下，设二次函数交y轴于点D，在x轴上有一点C，使以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．试求出C点的坐标．

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如图，已知直线y=-

x+1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．

（1）请直接写出点C，D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒

个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

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已知二次函数的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5）
①求该函数的关系式；
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′B′的面积．

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