(1)在抛物线y=x2+px+q中, 当x=0时,y=q.即:C点的坐标为(0,q). 因为:OA=OC,D点与A点关于y轴对称. 所以:A点的坐标为(q,0);D点的坐标为(-q,0). 将A(q,0)代入y=x2+px+q中得:0=q2+pq+q 即:q(q+p+1)=0 所以:q=0,(不符合题意,舍去.) q+p=-1 ① 现在求点P的坐标,即抛物线y=x2+px+q顶点的坐标: 横坐标:-;纵坐标:, 设直线CD的方程为y=kx+b 因为直线CD过C(0,q)、D(-q,0)两点,所以有方程组 q=b,0=-qk+b. 解得:k=1,b=q. 所以直线CD的解析式为:y=x+q. 因为点P在直线CD上, 所以=-+q 解得:p=0(不符合题意,舍去) p=2 ② 又已经求得的①、②两等式得:p=2,q=-3. 因此;p、q的值分别为 2和-3.
(2)∵p=2,q=-3. ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3, A、D、C、P四点的坐标分别为(-3,0)、(3,0)、(0,-3)、(-1,-4). 直线CD的方程式为y=x-3, 设:过A点与直线CD平行的直线AQ的方程为: y=x+b(因两直线平行,所以一次项系数相等) 因为点A(-3,0)在直线AQ上,将其代入y=x+b中得:0=-3+b,解得:b=3 所以:直线AQ的方程为:y=x+3 下面求直线AQ(y=x+3)与抛物线y=x2+2x-3的交点Q的坐标: 解方程组y=x2+2x-3,y=x+3.得x1=2,y1=5;x2=-3,y2=0. 即:两交点为A(-3,0);Q(2,5). 下面再求A、Q两点距离和P、D两点距离:从图形可知 |AQ|=5,|PD|=4, 所以|AQ|≠|PD| 这说明AQ与PD不相等,所以在抛物线上不存在满足四边形APDQ是平行四边形的Q点.
(3)存在E点,且E点坐标为(9,6). 具体求解过程如下: 设E点是直线PC上的点,且满足AE垂直AP 求直线AP的方程,设直线AP的方程为y=kx+b 因为A(-3,0),P(-1,-4)两点在直线AP上,所以有方程组 0=-3k+b,-4=-k+b.解得:k=-2,b=-6. 所以直线AP的方程式为:y=-2x-6 因为直线AE垂直直线AC,所以两直线一次项系数之积等于-1 所以,设直线AE方程式为y=x+b A(-3,0)点在直线AE上,所以b=, 所以直线AE的方程式为y=x+, 直线AE与直线CD相交于E点,解两直线方程组成的方程组得:x=9,y=6. 即E点的坐标为(9,6). 在三角形ACD中,因为OA=OD=OC,AD垂直CO, 所以∠ACD是直角, 在直角三角形APE中,AC是斜边PE上的高, 所以△APC∽△EPA. |