如图(1),在平面直角坐标系中,矩形ABCO,B点坐标为(4,3),抛物线y=-12x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C,D为BC的中点,直线AD与y轴交
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如图(1),在平面直角坐标系中,矩形ABCO,B点坐标为(4,3),抛物线y=-12x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C,D为BC的中点,直线AD与y轴交
题型:不详
难度:
来源:
如图(1),在平面直角坐标系中,矩形ABCO,B点坐标为(4,3),抛物线y=
-
1
2
x
2
+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C,D为BC的中点,直线AD与y轴交于E点,与抛物线y=
-
1
2
x
2
+bx+c交于第四象限的F点.
(1)求该抛物线解析式与F点坐标;
(2)如图(2),动点P从点C出发,沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动;同时,动点M从点A出发,沿线段AE以每秒
13
2
个单位长度的速度向终点E运动.过点P作PH⊥OA,垂足为H,连接MP,MH.设点P的运动时间为t秒.
①问EP+PH+HF是否有最小值?如果有,求出t的值;如果没有,请说明理由.
②若△PMH是等腰三角形,请直接写出此时t的值.
答案
(1)∵矩形ABCO,B点坐标为(4,3)
∴C点坐标为(0,3)
∵抛物线y=
-
1
2
x
2
+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C,
∴
c=3
-8+4b+c=3
,
解得:
c=3
b=2
,
∴该抛物线解析式y=-
1
2
x
2
+2x+3,
设直线AD的解析式为y=k
1
x+b
1
∵A(4,0)、D(2,3),
∴
4
k
1
+
b
1
=0
2
k
1
+
b
1
=3
∴
k
1
=-
3
2
b
1
=6
,
∴
y=-
3
2
x+6
,
联立
y=-
3
2
x+6
y=-
1
2
x
2
+2x+3
,
∵F点在第四象限,
∴F(6,-3);
(2)①∵E(0,6),∴CE=CO,(如图(1)),
连接CF交x轴于H′,过H′作BC的垂线交BC于P′,当P
运动到P′,当H运动到H′时,EP+PH+HF的值最小.
设直线CF的解析式为y=k
2
x+b
2
∵C(0,3)、F(6,-3),
∴
b
2
=3
6
k
2
+
b
2
=-3
,
解得:
k
2
=-1
b
2
=3
,
∴y=-x+3
当y=0时,x=3,
∴H′(3,0),
∴CP=3,∴t=3;
②如图1过M作MN⊥OA交OA于N,
∵△AMN
∽
△AEO,
∴
AM
AE
=
AN
AO
=
MN
EO
,
∴
13
2
t
2
13
=
AN
4
=
MN
6
,
∴AN=t,MN=
3
2
t
,
I如图3,当PM=HM时,M在PH的垂直平分线上,
∴MN=
1
2
PH,
∴MN=
3
2
t=
3
2
,
∴t=1;
II如图2,当PM=HP时,MH=3,MN=
3
2
t
,
HN=OA-AN-OH=4-2t在Rt△HMN中,MN
2
+HN
2
=MH
2
,
∴
(
3
2
t
)
2
+(4-2t
)
2
=
3
2
,
即25t
2
-64t+28=0,
解得:t
1
=2(舍去),
t
2
=
14
25
;
III如图4,当PH=PM时,
∵PM=3,MT=
|3-
3
2
t|
,PT=BC-CP-BT=|4-2t|,
∴在Rt△PMT中,MT
2
+PT
2
=PM
2
,
即
(3-
3
2
t
)
2
+(4-2t
)
2
=
3
2
,
∴25t
2
-100t+64=0,
解得:
t
1
=
16
5
,
t
2
=
4
5
综上所述:
t=
14
25
,
4
5
,1,
16
5
.
举一反三
如图,抛物线y=-
5
4
x
2
+
17
4
x+1与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0)
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒,MN的长度为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O,点C重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平行四边形?问对于所求的t值,平行四边形BCMN是否菱形?请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.
(1)求本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度的利润比上一年有所增加,投入成本增加的比例应在什么范围?
题型:不详
难度:
|
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有一个运算装置,当输入值为x时,其输出值为y,且y是x的二次函数,已知输入值为-2,0,1时,相应的输出值分别为5,-3,-4.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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若f(x)>0,符号
∫
ba
f(x)dx
表示函数y=f(x)的图象与过点(a,0),(b,0)且和x轴垂直的直线及x轴围成图形的面积.如图,
∫
21
(x+1)dx
表示梯形ABCD的面积.设
A=
∫
21
2
x
dx
,
B=
∫
21
(-x+3)dx
,
C=
∫
21
(-
3
2
x
2
+
7
2
x)dx
,则A,B,C中最大的是( )
A.A
B.B
C.C
D.无法比较
题型:不详
难度:
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为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化
带一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围住(如图4).若设绿化带的BC边长为xm,绿化带的面积为ym
2
.
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x为何值时,满足条件的绿化带的面积最大.
题型:不详
难度:
|
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