(1)抛物线y=mx2-mx-2m交x轴于A(x1,0),B(x2,0), 所以x1+x2=3,x1•x2=-4m, ∵抛物线y=mx2-mx-2m交y轴负半轴于C点, ∴点C(0,-2m),-2m<0, ∴m>0, ∵x1<0<x2, ∴AO+OB=-x1+x2,OC=|-2m|=2m, ∴(AO+OB)2=(-x1+x2)2=(x1+x2)2-4x1•x2=9+16m, 12OC+1=24m+1, ∴9+16m=24m+1, 解得m=1, 即抛物线的解析式为:y=x2-x-2;
(2)易知:A点坐标为(-1,0),B点坐标为(4,0),C点坐标为(0,-2), 连接AC,BC,AC=,BC=2,AB=5, ∴AC2+BC2=AB2, ∴∠ACB=90°. 设C关于抛物线对称轴的对称点为C′,那么C′坐标为(3,-2), 根据抛物线的对称性可知:如果连接AC′、BC′,那么∠AC′B=90°, 因此如果以AB为直径作圆,那么此圆必过C,C′, 根据圆周角定理可知:x轴下方的半圆上任意一点和A、B组成的三角形都是直角三角形, 如果设P点横坐标为x,那么必有当0<x<3时,∠APB为锐角, 故当0<x<3时,∠APB为锐角;
(3)∵C(0,-2),E(2,-5), ∴直线CE的解析式为y=-x-2. 设直线CE向上平移a个单位后的解析式为y=-x+b,则-2+a=b, 设直线y=-x+b与抛物线y=x2-x-2交于M,N两点,设M(x1,y1),N(x2,y2). ∵-x+b=x2-x-2, ∴x2-2-b=0, ∴x1+x2=0, ∴点M与点N的横坐标互为相反数, 设点M与的横坐标为t,则M(t,-x+b),N(-t,t+b), ∵AM=AN,A(-1,0), ∴(t+1)2+(-t+b)2=(t-1)2+(t+b)2, 整理,得4t-6bt=0, ∵t=0时,M,N两点都与点C重合,不合题意舍去, ∴当t≠0时,b=, 此时-2+a=,解得a=. 故所求a的值为. |