某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm的简易废纸箱.如图甲,废纸箱的一面利用墙,放置在地面上,利用地面作底,其它的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围

某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm的简易废纸箱.如图甲,废纸箱的一面利用墙,放置在地面上,利用地面作底,其它的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围

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某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm的简易废纸箱.如图甲,废纸箱的一面利用墙,放置在地面上,利用地面作底,其它的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围成.经研究发现:由于废纸箱的高是确定的,所以废纸箱的横截面图形面积越大,则它的容积越大.该小组通过多次尝试,最终选定乙图中的简便且易操作的三种横截面图形.在三个图的比较中,图______横截面图形的面积最大(填序号①②③),则围成最大的体积是______cm3.(结果保留根号)
答案
①三角形的面积为:
1
2
x(60-x)=-
1
2
x2+30x=-
1
2
(x-30)2+450,
当x=30时,三角形的面积最大为450cm2
②矩形的面积为:x(60-2x)=-2x2+60x=-2(x-15)2+450,
当x=15时,矩形的面积最大为450cm2
③等腰梯形的面积为:


3
2
x(60-2x)+2×
1
2
×
1
2


3
2
x=-
3


3
4
x2+30


3
x=-
3


3
4
(x-20)2+300


3

当x=20时,等腰梯形的面积最大为300


3
cm2
因此围成最大的体积是300


3
×60=18000


3
cm3
故答案为:③、18000


3
举一反三
如图①,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知:A(-2,-6),C(1,-3)
(1)求证:E点在y轴上;
(2)如果有一抛物线经过A,E,C三点,求此抛物线方程.
(3)如果AB位置不变,再将DC水平向右移动k(k>0)个单位,此时AD与BC相交于E′点,如图②,求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.
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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)、B(3,0)和C(0,-3),线段BC与抛物线的对称轴相交于点P.M、N分别是线段OC和x轴上的动点,运动时保持∠MPN=90°不变.连结MN,设MC=m.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)用含m的代数式表示△PMN的面积S,并求S的最大值;
(3)以PM、PN为一组邻边作矩形PMDN,当此矩形全部落在抛物线与x轴围成的封闭区域内(含边界)时,求m的取值范围.
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如图,在直角坐标系中,⊙A的半径为4,A的坐标为(2,0),⊙A与x轴交于E、F两点,与y轴交于C、D两点,过C点作⊙A的切线BC交x轴于B.
(1)求直线BC的解析式;
(2)若一抛物线与x轴的交点恰为⊙A与x轴的两个交点,且抛物线的顶点在直线上y=


3
3
x+2


3
上,求此抛物线的解析式;
(3)试判断点C是否在抛物线上,并说明理由.
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崇左市政府大楼前广场有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线.如果以水平地面为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:米)的一部分.则水喷出的最大高度是______米.
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如图,在直角坐标系中,以x轴上一点P(1,0)为圆心的圆与x轴、y轴分别交于A、B、C、D四点,点C的坐标为(0,


3
).
(1)直接写出A、B、D三点坐标;
(2)若抛物线y=x2+bx+c过A、D两点,求这条抛物线的解析式,并判断点B是否在所求的抛物线上,说明理由.
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