如图，抛物线y=-x2+2nx+n2-9（n为常数）经过坐标原点和x轴上另一点C，顶点在第一象限．（1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；（2）在四

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线y=-x²+2nx+n²-9（n为常数）经过坐标原点和x轴上另一点C，顶点在第一象限．
（1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；
（2）在四边形OABC内有一矩形MNPQ，点M，N分别在OA，BC上，A点坐标为（2，8）B点坐标为（4，8），点Q，P在x轴上．当MN为多少时，矩形MNPQ的面积最大，最大面积是多少？

答案

（1）∵抛物线过（0，0）点．
∴n²-9=0（1分）
∴n=±3，（2分）
∵顶点在第一象限，
∴-

=n＞0且

4ac-b2

-4n2

-4

=n²＞0（不写不扣分），
∴n=3（3分）
∴抛物线y=-x²+6x（4分）
顶点坐标为（3，9）．（5分）

（2）如图所示，作AH⊥x轴于H．
设M点的坐标为（x，y）
∴△OMQ∽△OAH，
∴

（7分）
∴

，
∴y=4x（8分）
由抛物线的对称性可知：QP=MN=6-2x．（9分）
∴S_MNPQ=4x（6-2x）=-8x²+24x（10分）
∴当x=-

-16

时，（11分）MN=6-

×2=3时，S_MNPQ最大=-8×

+24×

=18，
答：MN等于3时，矩形MNPQ的最大面积是18．（12分）

举一反三

某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm的简易废纸箱．如图甲，废纸箱的一面利用墙，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围成．经研究发现：由于废纸箱的高是确定的，所以废纸箱的横截面图形面积越大，则它的容积越大．该小组通过多次尝试，最终选定乙图中的简便且易操作的三种横截面图形．在三个图的比较中，图______横截面图形的面积最大（填序号①②③），则围成最大的体积是______cm³．（结果保留根号）

题型：不详难度：| 查看答案

如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点．已知：A（-2，-6），C（1，-3）
（1）求证：E点在y轴上；
（2）如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程．
（3）如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k（k＞0）个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式．

题型：不详难度：| 查看答案

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0）和C（0，-3），线段BC与抛物线的对称轴相交于点P．M、N分别是线段OC和x轴上的动点，运动时保持∠MPN=90°不变．连结MN，设MC=m．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）用含m的代数式表示△PMN的面积S，并求S的最大值；
（3）以PM、PN为一组邻边作矩形PMDN，当此矩形全部落在抛物线与x轴围成的封闭区域内（含边界）时，求m的取值范围．

题型：不详难度：| 查看答案

如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为4，A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、

D两点，过C点作⊙A的切线BC交x轴于B．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若一抛物线与x轴的交点恰为⊙A与x轴的两个交点，且抛物线的顶点在直线上y=

x+2

上，求此抛物线的解析式；
（3）试判断点C是否在抛物线上，并说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案

崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x²+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是______米．

题型：不详难度：| 查看答案