抛物线y=a（x+6）2-3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C，D为抛物线的顶点，直线DE⊥x轴，垂足为E，AE2=3DE．（1）求这个抛物线的解析式；（2

题型：不详难度：来源：

抛物线y=a（x+6）²-3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C，D为抛物线的顶点，直线DE⊥x轴，垂足为E，AE²=3DE．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）P为直线DE上的一动点，以PC为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在x轴上．若在x轴上的直角顶点只有一个时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线上的一动点，过M作直线MN⊥DM，交直线DE于N，当M点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E三等分线段DN的情况？若存在，请求出所有符合条件的M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）易知抛物线的顶点D（-6，-3），则DE=3，OE=6；
∵AE²=3DE=9，
∴AE=3，即A（-3，0）；
将A点坐标代入抛物线的解析式中，
得：a（-3+6）²-3=0，
即a=

1

3

，
即抛物线的解析式为：y=

1

3

（x+6）²-3=

1

3

x²+4x+9．


（2）设点P（-6，t），易知C（0，9）；
则PC的中点Q（-3，

9+t

2

）；
易知：PC=

36+(9-t)2

；
若以PC为斜边构造直角三角形，在x轴上的直角顶点只有一个时，以PC为直径的圆与x轴相切，即：
|

9+t

2

|=

1

2

36+(9-t)2

，
解得t=1，
故点P（-6，1），
当点P与点E重合时，由抛物线的解析式可知，A（-3，0），B（-9，0）．
所以P（-6，0），
故点P的坐标为（-6，1）或（-6，0），


（3）设点M（a，b）（a＜0，b＞0），分两种情况讨论：
①当NE=2DE时，NE=6，即N（-6，6），已知D（-6，-3），则有：
直线MN的斜率：k₁=

b-6

a+6

，直线MD的斜率：k₂=

b+3

a+6

；
由于MN⊥DM，则k₁•k₂=

(b-6)(b+3)

(a+6)2

=-1，
整理得：a²+b²+12a-3b+18=0…（△），
由抛物线的解析式得：

1

3

a²+4a+9=b，
整理得：a²+12a-3b+27=0…（□）；
（△）-（□）得：b²=9，即b=3（负值舍去），
将b=3代入（□）得：a=-6+3

2

，a=-6-3

2

，
故点M（-6+3

2

，3）或（-6-3

2

，3）；
②当2NE=DE时，NE=

3

2

，即N（-6，

3

2

），已知D（-6，-3），
则有：直线MN的斜率：k₁=

b- 3 2

a+6

，直线DM的斜率：k₂=

b+3

a+6

；
由题意得：k₁•k₂=

(b- 3 2 )(b+3)

(a+6)2

=-1，
整理得：a²+b²+

3

2

b+12a+

63

2

=0，
而a²+12a-3b+27=0；两式相减，
得：2b²+9b+9=0，
解得b=-2，b=-

3

2

，（均不符合题意，舍去）；
综上可知：存在符合条件的M点，且坐标为：M（-6+3

2

，3）或（-6-3

2

，3）．