(1)y=-x+3, 当x=0时,y=3, ∴B(0,3), 把x=-1代入y=-x+3得:y=4, ∴D(-1,4), 当y=0时,0=-x+3, ∴x=3, ∴A(3,0), ∵抛物线过A(3,0),O(0,0), 把D(-1,4)代入y=ax2+bx+c=a(x-0)(x-3)得:4=a(-1-0)(-1-3), ∴a=1, ∴y=(x-0)(x-3), 即抛物线的解析式是y=x2-3x.
(2)设H(x,0), 则P(x,-x+3),Q(x,x2-3x), ∴PH=-x+3,QH=3x-x2, ∵x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1:2, ∴=或=2, 即=或=2, 解得:x1=2,x2=3(舍去),x3=3(舍去),x4=, ∴H点的坐标是(2,0)或(,0).
(3)分为三种情况: ①若∠BAC=90°,设C(x,x2-3x), ∵△AOB是等腰直角三角形, ∴∠BAO=45°, ∴∠OAC=45°, ∴tan∠OAC=1, ∴=1, 解得:x1=1,x2=3(舍去), ∴C(1,-2); ②若∠ABC=90°时, ∵∠OBA=45°, ∴∠OBC=45°, 设直线BC交于x轴于E,其解析式是y=kx+3, ∴OE=OB=3, ∴E(-3,0), 代入得:0=-3k+3, ∴k=1, ∴y=x+3, 解方程组得:,, ∴C(2+,5-)或(2-,5-); ③若∠ACB=90°时,设C(n,k), AC2+BC2=AB2, 即(n-3)2+k2+n2+(k-3)2=18, n2-3n+k2-3k=0, ∵k=n2-3n, 代入求出k1=0,k2=2, ∴n2-3n=0,n2-3n=2, 解得:n1=0,n2=3(舍去),n3=,n4=, ∴C(0,0)或(,2)或(,2), 综合上述:存在,点C的坐标是(1,-2)或(2+,5+)或(2-,5-)或(0,0)或(,2)或(,2). |