已知Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3cm,OB=4cm,以O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,设P、Q分别为AB、OB边上的动点,他们同时分别从点A
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已知Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3cm,OB=4cm,以O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,设P、Q分别为AB、OB边上的动点,他们同时分别从点A
题型:不详
难度:
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已知Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3cm,OB=4cm,以O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,设P、Q分别为AB、OB边上的动点,他们同时分别从点A、O向B点匀速移动,移动的速度都是1厘米/秒,设P、Q移动时间为
t秒(0≤t≤4)
(1)试用t的代数式表示P点的坐标;
(2)求△OPQ的面积S(cm
2
)与t(秒)的函数关系式;当t为何值时,S有最大值,并求出S的最大值;
(3)试问是否存在这样的时刻t,使△OPQ为直角三角形?如果存在,求出t的值,如果不存在,请说明理由.
答案
(1)作PM⊥OA于M,则PM
∥
OB,
∴AM:AO=PM:BO=AP:AB,
∵OA=3cm,OB=4cm,
∴在Rt△OAB中,AB=
OA
2
+
OB
2
=
3
2
+
4
2
=5cm,
∵AP=1•t=t,
∴
AM
3
=
PM
4
=
t
5
,
∴PM=
4
5
t,AM=
3
5
t,
∴OM=OA-AM=3-
3
5
t,
∴点P的坐标为(
4
5
t,3-
3
5
t);
(2)∵OQ=1•t=tcm,
∴S
△OPQ
=
1
2
×t×(3-
3
5
t)=-
3
10
t
2
+
3
2
t=-
3
10
(t-
5
2
)
2
+
15
8
,
∴当t=
5
2
s时,S有最大值,最大值为
15
8
cm
2
;
(3)存在.
理由:作PN⊥OB于N,
∵△OPQ为直角三角形,
∴△PON
∽
△QPN,
∴
PN
QN
=
ON
PN
,
∴(3-
3
5
t)
2
=
4
5
t(t-
4
5
t),
解得t
1
=3,t
2
=15(舍去);
∴当t=3s时,△OPQ为直角三角形.
举一反三
在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)经过点A(1,0)、B(3,0)、C(0,3).
(1)试求出抛物线的解析式;
(2)问:在抛物线的对称轴上是否存在一个点Q,使得△QAC的周长最小,试求出△QAC的周长的最小值,并求出点Q的坐标;
(3)现有一个动点P从抛物线的顶点T出发,在对称轴上以1个单位长度每秒的速度向y轴的正方向运动,试问,经过几秒后,△PAC是等腰三角形?
题型:不详
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|
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己知:二次函数y=ax
2
+bx+6(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点A、点B的横坐标是一元二次方程x
2
-4x-12=0的两个根.
(1)请直接写出点A、点B的坐标.
(2)请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标.
(3)如图1,在二次函数对称轴上是否存在点P,使△APC的周长最小,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)如图2,连接AC、BC,点Q是线段0B上一个动点(点Q不与点0、B重合).过点Q作QD
∥
AC交BC于点D,设Q点坐标(m,0),当△CDQ面积S最大时,求m的值.
题型:不详
难度:
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如图,抛物线y=ax
2
+bx+c经过点A(0,4)、B(2,4),它的最高点纵坐标为
14
3
,点
P是第一象限抛物线上一点且PA=PO,过点P的直线分别交射线AB、x正半轴于C、D.设AC=m,OD=n.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求点P的坐标及n关于m的函数关系式;
(3)连接OC交AP于点E,如果以A、C、E为顶点的三角形与△ODP相似,求m的值.
题型:不详
难度:
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如图,二次函数y=-
1
2
x
2
+mx+n的图象与y轴交于点N,其顶点M在直线y=-
3
2
x上运动,O为坐标原点.
(1)当m=-2时,求点N的坐标;
(2)当△MON为直角三角形时,求m、n的值;
(3)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,2),B(-4,-3),C(-2,2),当抛物线y=-
1
2
x
2
+mx+n在对称轴左侧的部分与△ABC的三边有公共点时,求m的取值范围.
题型:不详
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|
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