如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）试求出抛物线的解析式；（2）问：在抛物线的对称轴上是否存在一

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如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）试求出抛物线的解析式；
（2）问：在抛物线的对称轴上是否存在一个点Q，使得△QAC的周长最小，试求出△QAC的周长的最小值，并求出点Q的坐标；
（3）现有一个动点P从抛物线的顶点T出发，在对称轴上以1个单位长度每秒的速度向y轴的正方向运动，试问，经过几秒后，△PAC是等腰三角形？

答案

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴把此三点代入得

a+b+c=0

9a+3b+c=0

c=3

，
解得

a=1

b=-4

c=3

，
故抛物线的解析式为，y=x²-4x+3；

（2）点A关于对称轴的对称点即为点B，
连接B、C，交x=2于点Q，
可得直线BC：
y=-x+3，与对称轴交点Q（2，1），BC=3

，
可得△QAC周长为

．

（3）设t秒后△PAC是等腰三角形，
因为P在对称轴上，
所以P点坐标为（2，t-1）于是
①当PA=CA时；根据勾股定理得：（2-1）²+（t-1）²=1²+3²；
解得t=4秒或t=-2秒（负值舍去）．
②PC=PA时；根据勾股定理得：2²+（t-4）²=（2-1）²+（t-1）²；
解得t=3秒；
③CP=CA时；根据勾股定理得：2²+（t-4）²=1²+3²；
解得t=（4+

）秒或t=（4-

）秒
所以经过4秒，或3秒，或4+

秒，或4-

秒时，△PAC是等腰三角形．

举一反三

己知：二次函数y=ax²+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x²-4x-12=0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．

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如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（0，4）、B（2，4），它的最高点纵坐标为

，点

P是第一象限抛物线上一点且PA=PO，过点P的直线分别交射线AB、x正半轴于C、D．设AC=m，OD=n．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标及n关于m的函数关系式；
（3）连接OC交AP于点E，如果以A、C、E为顶点的三角形与△ODP相似，求m的值．

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如图，二次函数y=-

x²+mx+n的图象与y轴交于点N，其顶点M在直线y=-

x上运动，O为坐标原点．

（1）当m=-2时，求点N的坐标；
（2）当△MON为直角三角形时，求m、n的值；
（3）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-4，2），B（-4，-3），C（-2，2），当抛物线y=-

x²+mx+n在对称轴左侧的部分与△ABC的三边有公共点时，求m的取值范围．

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如图，抛物线y=-

x²+

x-4与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M．P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．
（1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明△MDE是等腰三角形；
（2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；
（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．

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某商店经营一批进价每件为2元的小商品，在市场营销的过程中发现：如果该商品按每件最低价3元销售，日销售量为18件，如果单价每提高1元，日销售量就减少2件．设销售单价为x（元），日销售量为y（件）．
（1）写出日销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设日销售的毛利润（毛利润=销售总额-总进价）为P（元），求出毛利润P（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）在下图所示的坐标系中画出P关于x的函数图象的草图，并标出顶点的坐标；
（4）观察图象，说出当销售单价为多少元时，日销售的毛利润最高是多少？

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