如图,抛物线y=-45x2+245x-4与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在
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如图,抛物线y=-45x2+245x-4与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在
题型:不详
难度:
来源:
如图,抛物线y=-
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5
x
2
+
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5
x-4与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上).分别过点A、B作直线CP的垂线,垂足分别为D、E,连接点MD、ME.
(1)求点A,B的坐标(直接写出结果),并证明△MDE是等腰三角形;
(2)△MDE能否为等腰直角三角形?若能,求此时点P的坐标;若不能,说明理由;
(3)若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”,其他条件不变,△MDE能否为等腰直角三角形?若能,求此时点P的坐标(直接写出结果);若不能,说明理由.
答案
(1)抛物线解析式为y=-
4
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x
2
+
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5
x-4,令y=0,
即-
4
5
x
2
+
24
5
x-4=0,解得x=1或x=5,∴A(1,0),B(5,0).
如答图1所示,分别延长AD与EM,交于点F.
∵AD⊥PC,BE⊥PC,∴AD
∥
BE,∴∠MAF=∠MBE.
在△AMF与△BME中,
∠MAF=∠MBE
MA=MB
∠AMF=∠BME
,
∴△AMF≌△BME(ASA),
∴ME=MF,即点M为Rt△EDF斜边EF的中点,
∴MD=ME,即△MDE是等腰三角形.
(2)答:能.
抛物线解析式为y=-
4
5
x
2
+
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5
x-4=-
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5
(x-3)
2
+
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5
,
∴对称轴是直线x=3,M(3,0);
令x=0,得y=-4,∴C(0,-4).
△MDE为等腰直角三角形,有3种可能的情形:
①若DE⊥EM,
由DE⊥BE,可知点E、M、B在一条直线上,
而点B、M在x轴上,因此点E必然在x轴上,
由DE⊥BE,可知点E只能与点O重合,即直线PC与y轴重合,
不符合题意,故此种情况不存在;
②若DE⊥DM,与①同理可知,此种情况不存在;
③若EM⊥DM,如答图2所示:
设直线PC与对称轴交于点N,
∵EM⊥DM,MN⊥AM,∴∠EMN=∠DMA.
在△ADM与△NEM中,
∠EMN=∠DMA
EM=DM
∠ADM=∠NEM=135°
∴△ADM≌△NEM(ASA),
∴MN=MA.
抛物线解析式为y=-
4
5
x
2
+
24
5
x-4=-
4
5
(x-3)
2
+
16
5
,故对称轴是直线x=3,
∴M(3,0),MN=MA=2,
∴N(3,2).
设直线PC解析式为y=kx+b,∵点N(3,2),C(0,-4)在直线上,
∴
3k+b=2
b=-4
,解得k=2,b=-4,∴y=2x-4.
将y=2x-4代入抛物线解析式得:2x-4=-
4
5
x
2
+
24
5
x-4,
解得:x=0或x=
7
2
,
当x=0时,交点为点C;当x=
7
2
时,y=2x-4=3.
∴P(
7
2
,3).
综上所述,△MDE能成为等腰直角三角形,此时点P坐标为(
7
2
,3).
(3)答:能.
如答题3所示,设对称轴与直线PC交于点N.
与(2)同理,可知若△MDE为等腰直角三角形,直角顶点只能是点M.
∵MD⊥ME,MA⊥MN,∴∠DMN=∠EMB.
在△DMN与△EMB中,
∠DMN=∠EMB
MD=ME
∠MDN=∠MEB=45°
,
∴△DMN≌△EMB(ASA),
∴MN=MB.
∴N(3,-2).
设直线PC解析式为y=kx+b,∵点N(3,-2),C(0,-4)在抛物线上,
∴
3k+b=-2
b=-4
,解得k=
2
3
,b=-4,∴y=
2
3
x-4.
将y=
2
3
x-4代入抛物线解析式得:
2
3
x-4=-
4
5
x
2
+
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5
x-4,
解得:x=0或x=
31
6
,
当x=0时,交点为点C;当x=
31
6
时,y=
2
3
x-4=
-
5
9
.
∴P(
31
6
,
-
5
9
).
综上所述,△MDE能成为等腰直角三角形,此时点P坐标为(
31
6
,
-
5
9
).
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(2)设日销售的毛利润(毛利润=销售总额-总进价)为P(元),求出毛利润P(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(3)在下图所示的坐标系中画出P关于x的函数图象的草图,并标出顶点的坐标;
(4)观察图象,说出当销售单价为多少元时,日销售的毛利润最高是多少?
题型:不详
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∽
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题型:不详
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(1)证明△ABE
∽
△ECF;
(2)求出y关于x的函数关系式;
(3)试求当x取何值时?y有最大或最小值,是多少?
题型:不详
难度:
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(2)求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值.
题型:不详
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边上)的一个动点,点C在y轴上,抛物线y=ax
2
+bx+1以P为顶点.
(1)能否判断抛物线y=ax
2
+bx+1的开口方向?请说明理由.
(2)设抛物线y=ax
2
+bx+1与x轴有交点F、E(F在E的左侧),△EAO与△FAO的面积之差为3,且这条抛物线与线段AD有一个交点的横坐标为
7
2
,这时能确定a、b的值吗?若能,请求出a、b的值;若不能,请确定a、b的取值范围.(本题的图形仅供分析参考用)
题型:不详
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