若抛物线y=x2-(2m+4)+m2-10与x轴交于A(x1,0),B(x2,0).顶点为C.(1)求m的范围;(2)若AB=22,求抛物线的解析式;(3)若△
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若抛物线y=x2-(2m+4)+m2-10与x轴交于A(x1,0),B(x2,0).顶点为C.(1)求m的范围;(2)若AB=22,求抛物线的解析式;(3)若△
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若抛物线y=x
2
-(2m+4)+m
2
-10与x轴交于A(x
1
,0),B(x
2
,0).顶点为C.
(1)求m的范围;
(2)若AB=2
2
,求抛物线的解析式;
(3)若△ABC为等边三角形,求m的值.
答案
(1)∵抛物线y=x
2
-(2m+4)+m
2
-10与x轴轴交于A、B两点,
∴方程x
2
-(2m+4)+m
2
-10=0有两个不相等的实根,
∴△>0,
即:(2m+4)
2
-4(m
2
-10)>0,
∴m的范围为m>-
7
2
;
(2)由根与系数的关系得:x
1
+x
2
=2m+4,x
1
x
2
=m
2
-10,
又∵AB=|x
1
-x
2
|=
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
=
(2m+4
)
2
-4(
m
2
-10)
=
16m+56
,
∴
16m+56
=2
2
,
解得:m=-3.
∴抛物线的解析式为:y=x
2
+2x-1;
(3)抛物线的顶点C的坐标为(m+2,-4m-4),AB=
16m+56
,
若△ABC为等边三角形,则|-4m-14|=
1
2
×
16m+56
×tan60°,
解得:m=-
11
4
.
举一反三
如图,已知点A(8,0),sin∠ABO=
4
5
,抛物线经过点O、A,且顶点在△AOB的外接圆上,则此抛物线的解析式为( )
A.y=-
1
2
x
2
+4x
B.y=-
1
8
x
2
+x
C.y=
1
2
x
2
-4x
或y=-
1
8
x
2
+x
D.y=-
1
2
x
2
+4x
或y=
1
8
x
2
-x
题型:不详
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已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为
6
5
,那么EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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已知Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3cm,OB=4cm,以O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,设P、Q分别为AB、OB边上的动点,他们同时分别从点A、O向B点匀速移动,移动的速度都是1厘米/秒,设P、Q移动时间为
t秒(0≤t≤4)
(1)试用t的代数式表示P点的坐标;
(2)求△OPQ的面积S(cm
2
)与t(秒)的函数关系式;当t为何值时,S有最大值,并求出S的最大值;
(3)试问是否存在这样的时刻t,使△OPQ为直角三角形?如果存在,求出t的值,如果不存在,请说明理由.
题型:不详
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在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.
题型:不详
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如图,已知抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)经过点A(1,0)、B(3,0)、C(0,3).
(1)试求出抛物线的解析式;
(2)问:在抛物线的对称轴上是否存在一个点Q,使得△QAC的周长最小,试求出△QAC的周长的最小值,并求出点Q的坐标;
(3)现有一个动点P从抛物线的顶点T出发,在对称轴上以1个单位长度每秒的速度向y轴的正方向运动,试问,经过几秒后,△PAC是等腰三角形?
题型:不详
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