(1)∵抛物线y=ax2-3ax+b过A(-1,0)、C(3,-4), ∴0=a+3a+b,-4=9a-9a+b. 解得a=1,b=-4, ∴抛物线解析式y=x2-3x-4.
(2)如图1,过点C作CH⊥AB于点H, 由y=x2-3x-4得B(4,0)、D(0,-4). 又∵A(-1,0),C(3,-4), ∴CD∥AB. 由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形, ∴S△AOD=S△BHC. 设矩形ODCH的对称中心为P,则P(,-2). 由矩形的中心对称性知:过P点任一直线将它的面积平分. ∴过P点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD的面积平分. 当直线y=kx+1经过点P时, 得-2=k+1 ∴k=-2. ∴当k=-2时,直线y=-2x+1将四边形ABCD面积二等分.
(3)如图2,由题意知,四边形AEMN为平行四边形, ∴AN∥EM且AN=EM. ∵E(1,1)、A(-1,0), ∴设M(m,n),则N(m-2,n-1) ∵M、N在抛物线上, ∴n=m2-3m-4,n-1=(m-2)2-3(m-2)-4, 解得m=,n=-. ∴M(,-),N(,-)
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