如图，在平面直角坐标系中，将直线y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B（-3，0）及y轴上的C点．若抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，将直线y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B（-3，0）及y轴上的C点．若抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），且经过点C，其对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，若∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形EFOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后经过y轴上的点C，
∴此时直线的解析式为y=kx-3，令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
设直线BC的解析式为y=kx-3．
∵B（-3，0）在直线BC上，
∴-3k-3=0解得k=-1．
∴直线BC的解析式为y=-x-3．
∵抛物线y=-x²+bx+c过点B，C，
∴

-9-3b+c=0 c=-3

，
解得

b=-4 c=-3

，
∴抛物线的解析式为y=-x²-4x-3；

（2）由y=-x²-4x-3．可得D（-2，1），A（-1，0）．
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
可得△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OBC=45°，CB=3

2

．
设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF=

1

2

AB=1．
连接AE，
∵∠AEF=∠BEF=45°，
∴∠AEB=90°．
可得BE=AE=

2

，CE=2

2

，
在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．
∴

AE

AF

=

CE

PF

，

2

1

=

2 2

PF

，解得，PF=2，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（-2，-2），（-2，2）．

（3）存在．
∵D（-2，1），C（0，-3），直线BC的解析式为y=-x-3，
∴F（-2，0），E（-2，-1），
∴S_梯形EFOC=

1

2

（EF+OC）•OF=

1

2

×（1+3）×2=4，
∵当直线CM过点F时，S_△OCF=

1

2

OC•OF=

1

2

×3×2=3＞

1

2

S_梯形EFOC=2，
∴直线必过线段OF，设直线CM与线段OF相较于点G（x，0），则S_△OCG=

1

2

OC•OG=

1

2

×3×
（-x）=2，解得x=-

4

3

，
∴G（-

4

3

，0），
设直线CM的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵C（0，-3），G（-

4

3

，0）在直线CM上，
∴

b=-3 - 4 3 k+b=0

，解得

b=-3 k=- 9 4

，
∴直线CM的解析式为y=-

9

4

x-3．