已知抛物线y=ax2+(43+3a)x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.是否存在实数a,使得△ABC为直角三角形?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明

已知抛物线y=ax2+(43+3a)x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.是否存在实数a,使得△ABC为直角三角形?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明

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已知抛物线y=ax2+(
4
3
+3a)x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.是否存在实数a,使得△ABC为直角三角形?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
答案
依题意,得点C的坐标为(0,4),
设点A、B的坐标分别为(x1,0),(x2,0),
由ax2+(
4
3
+3a)x+4=0,
解得x1=-3,x2=-
4
3a

∴点A、B的坐标分别为(-3,0),(-
4
3a
,0),
∴AB=|-
4
3a
+3|,AC=


AO2+OC2
=5,BC=


CB2+OC2
=


|-
4
3a
|
2
+42

∴AB2=|-
4
3a
+3|2=
16
9a2
-
8
a
+9,
AC2=25,BC2=
16
9a2
+16.
(ⅰ)当AB2=AC2+BC2时,∠ACB=90°,
由AB2=AC2+BC2
16
9a2
-
8
a
+9=25+
16
9a2
+16,
解得a=-
1
4

∴当a=-
1
4
时,点B的坐标为(
16
3
,0),
AB2=
625
9
,AC2=25,BC2=
400
9

于是AB2=AC2+BC2
∴当a=-
1
4
时,△ABC为直角三角形.
(ⅱ)当AC2=AB2+BC2时,∠ABC=90°,
由AC2=AB2+BC2
得25=
16
9a2
-
8
a
+9+
16
9a2
+16,
解得a=
4
9

当a=
4
9
时,-
4
3a
=-
4
4
9
=-3,点B(-3,0)与点A重合,不合题意.
<ⅲ>当BC2=AC2+AB2时,∠BAC=90°,
由BC2=AC2+AB2
得25+
16
9a2
-
8
a
+9=
16
9a2
+16,
解得a=
4
9

不合题意.
综合<ⅰ>、<ⅱ>、<ⅲ>,当a=-
1
4
时,△ABC为直角三角形.
举一反三
某种植基地对去年瓜果生产基地的甲、乙两种瓜果的生产销售进行了统计,发现去年1至12月每千克甲种瓜果的销售价格y1(元)与月份x(1≤x≤12,x为整数)之间存在如图所示变化趋势,每千克乙种瓜果销售价格y2(元)与月份x(1≤x≤12,x为整数)之间的函数关系如下表:
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月份x1234
销售价格y2(元)7.757.57.257
如图,已知抛物线y=
1
2
x2+mx+n(n≠0)与直线y=x交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OB,BCx轴.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点(点E在点D的上方),DE=


2
,过D、E两点分别作y轴的平行线,交抛物线于F、G,若设D点的横坐标为x,四边形DEGF的面积为y,求x与y之间的关系式,写出自变量x的取值范围,并回答x为何值时,y有最大值.
已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于两点A(1,0),B(3,0)与y轴相交于点C(0,3),
(l)求抛物线的函数关系式;
(2)若点D(4,m)是抛物线y=ax2+bx+c上一点,请求出m的值,并求出此时△ABD的面积;
(3)若点A(x1,y1)、B(x2,y2)是该二次函数图象上的两点,且-1<x1<0,1<x2<2,试比较两函数值的大小:y1______y2
(4)若自变量x的取值范围是0≤x≤5,则函数值y的取值范围是______.
如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-1,0)、B(3,0),与y轴相交于点C,点P为线段OB上的动点(不与O、B重合),过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F,点D在y轴正半轴上,OD=2,连接DE、OF.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当四边形ODEF是平行四边形时,求点P的坐标;
(3)过点A的直线将(2)中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分,求这条直线的解析式.(不必说明平分平行四边形面积的理由)
如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点,则abc______0(填“>”或“<”)