如图,已知抛物线y=12x2+mx+n(n≠0)与直线y=x交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OB,BC∥x轴.(1)求抛物线的解析式;(2)设D、E是线段

如图,已知抛物线y=12x2+mx+n(n≠0)与直线y=x交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OB,BC∥x轴.(1)求抛物线的解析式;(2)设D、E是线段

题型:不详难度:来源:
如图,已知抛物线y=
1
2
x2+mx+n(n≠0)与直线y=x交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OB,BCx轴.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点(点E在点D的上方),DE=


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,过D、E两点分别作y轴的平行线,交抛物线于F、G,若设D点的横坐标为x,四边形DEGF的面积为y,求x与y之间的关系式,写出自变量x的取值范围,并回答x为何值时,y有最大值.
答案
(1)∵抛物线y=
1
2
x2+mx+n与y轴交于点C
∴C(0,n)
∵BCx轴
∴B点的纵坐标为n
∵B、A在y=x上,且OA=OB
∴A(-n,-n),B(n,n)





1
2
n2+mn+n=n
1
2
n2-mn+n=-n

解得:n=0(舍去),n=-2;m=1
∴所求解析式为:y=
1
2
x2+x-2

(2)作DH⊥EG于H
∵D、E在直线y=x上
∴∠EDH=45°
∴DH=EH
∵DE=


2

∴DH=EH=1
∵D(x,x)
∴E(1+x,1+x)
∴F的纵坐标:
1
2
x2+x-2,
G的纵坐标:
1
2
(x+1)2+(x+1)-2
∴DF=x-(
1
2
x2+x-2)=2-
1
2
x2,EG=(x+1)-[
1
2
(x+1)2+(x+1)-2]=2-
1
2
(x+1)2
∴y=
1
2
[2-
1
2
x2+2-
1
2
(x+1)2]×1
y=-
1
2
x2-
1
2
x+
7
4

y=-
1
2
(x+
1
2
2+
15
8

∴x的取值范围是-2<x<1.当x=-
1
2
时,y最大值=
15
8

举一反三
已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于两点A(1,0),B(3,0)与y轴相交于点C(0,3),
(l)求抛物线的函数关系式;
(2)若点D(4,m)是抛物线y=ax2+bx+c上一点,请求出m的值,并求出此时△ABD的面积;
(3)若点A(x1,y1)、B(x2,y2)是该二次函数图象上的两点,且-1<x1<0,1<x2<2,试比较两函数值的大小:y1______y2
(4)若自变量x的取值范围是0≤x≤5,则函数值y的取值范围是______.
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如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-1,0)、B(3,0),与y轴相交于点C,点P为线段OB上的动点(不与O、B重合),过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F,点D在y轴正半轴上,OD=2,连接DE、OF.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当四边形ODEF是平行四边形时,求点P的坐标;
(3)过点A的直线将(2)中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分,求这条直线的解析式.(不必说明平分平行四边形面积的理由)
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如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点,则abc______0(填“>”或“<”)
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在平面直角坐标系中,给定以下五点A(-2,0)、B(1,0)、C(4,0)、D(-2,
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)、E(0,-6).从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足对称轴平行于y轴.
我们约定:把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB.
(1)问符合条件的抛物线还有哪几条?不求解析式,请用约定的方法一一表示出来;
(2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?如果存在,试求出抛物线及直线的解析式并证明;如果不存在,请说明理由.
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如图,是一学生掷铅球时,铅球行进高度y(cm)的函数图象,点B为抛物线的最高点,则该同学的投掷成绩为______米.
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