(1)由题意可设抛物线的解析式为 y=a(x-2)2+1 ∵抛物线过原点, ∴0=a(0-2)2+1, ∴a=-. 抛物线的解析式为y=-(x-2)2+1, 即y=-x2+x
(2)如图1,当四边形OCDB是平行四边形时,CD=OB, 由0=-(x-2)2+1得x1=0,x2=4, ∴B(4,0),OB=4. 由于对称轴x=2 ∴D点的横坐标为6. 将x=6代入y=-(x-2)2+1,得y=-3, ∴D(6,-3); 根据抛物线的对称性可知, 在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(-2,-3), 当四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)
(3)不存在. 如图2,由抛物线的对称性可知:AO=AB,∠AOB=∠ABO. 若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB=∠BOA=∠BPO 设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,-1) ∴直线OP的解析式为y=-x 由-x=-x2+x,得x1=0,x2=6. ∴P(6,-3) 过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE=2,PE=3, ∴PB=≠4. ∴PB≠OB, ∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO与△BAO不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似. |