(1)∵A(0,1),B(0,3), ∴AB=2, ∵△ABC是等腰三角形,且点C在x轴的正半轴上, ∴AC=AB=2, ∴OC==. ∴C(,0).(2分) 设直线BC的解析式为y=kx+3, ∴k+3=0, ∴k=-. ∴直线BC的解析式为y=-x+3.(4分)
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称, ∴b=0.(5分) 又抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,1),D(3,-2)两点. ∴ 解得 ∴抛物线的解析式是y=-x2+1.(7分) 在Rt△AOC中,OA=1,AC=2,易得∠ACO=30°. 在Rt△BOC中,OB=3,OC=,易得∠BCO=60°. ∴CA是∠BCO的角平分线. ∴直线BC与x轴关于直线AC对称. 点P关于直线AC的对称点在x轴上,则符合条件的点P就是直线BC与抛物线y=-x2+1的交点.(8分) ∵点P在直线BC:y=-x+3上,故设点P的坐标是(x,-x+3). 又∵点P(x,-x+3)在抛物线y=-x2+1上, ∴-x+3=-x2+1. 解得x1=,x2=2. 故所求的点P的坐标是P1(,0),P2(2,-3).(10分)
(3)要求PM+CM的取值范围,可先求PM+C′M的最小值. (I)当点P的坐标是OC=时,点P与点C重合, 故PM+CM=2CM. 显然CM的最小值就是点C到y轴的距离为, ∵点M是y轴上的动点, ∴PM+CM无最大值, ∴PM+CM≥2.(13分) (II)当点P的坐标是(2,-3)时,由点C关于y轴的对称点C′(-,0), 故只要求PM+MC"的最小值,显然线段PC"最短.易求得PC"=6. ∴PM+CM的最小值是6. 同理PM+CM没有最大值, ∴PM+CM的取值范围是PM+CM≥6. 综上所述,当点P的坐标是(,0)时,PM+CM≥2, 当点P的坐标是(2,-3)时,PM+CM≥6.(15分)
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