(1)∵MN∥BC, ∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C. ∴△AMN∽△ABC. ∴=,即=; ∴AN=x; ∴S=S△MNP=S△AMN=•x•x=x2.(0<x<4)
(2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连接AO,OD,则AO=OD=MN. 在Rt△ABC中,BC==5; 由(1)知△AMN∽△ABC, ∴=,即=, ∴MN=x ∴OD=x, 过M点作MQ⊥BC于Q,则MQ=OD=x, 在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角, ∴△BMQ∽△BCA, ∴=, ∴BM==x,AB=BM+MA=x+x=4 ∴x=, ∴当x=时,⊙O与直线BC相切;
(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连接AP,则O点为AP的中点. ∵MN∥BC, ∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APB, ∴△AMO∽△ABP, ∴==, ∵AM=MB=2, 故以下分两种情况讨论: ①当0<x≤2时,y=S△PMN=x2, ∴当x=2时,y最大=×4=, ②当2<x<4时,设PM,PN分别交BC于E,F, ∵四边形AMPN是矩形, ∴PN∥AM,PN=AM=x, 又∵MN∥BC, ∴四边形MBFN是平行四边形; ∴FN=BM=4-x, ∴PF=x-(4-x)=2x-4, 又∵△PEF∽△ACB, ∴()2=, ∴S△PEF=(x-2)2; y=S△MNP-S△PEF=x2-(x-2)2=-x2+6x-6, 当2<x<4时,y=-x2+6x-6=-(x-)2+2, ∴当x=时,满足2<x<4,y最大=2. 综上所述,当x=时,y值最大,最大值是2. |