已知:抛物线y=x2+2x-3与x轴的两个交点分别为A、B,点A在点B的左侧,与y轴交于点C,顶点为D,直线y=kx+b经过点A、C;(1)求点D的坐标和直线A

已知:抛物线y=x2+2x-3与x轴的两个交点分别为A、B,点A在点B的左侧,与y轴交于点C,顶点为D,直线y=kx+b经过点A、C;(1)求点D的坐标和直线A

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已知:抛物线y=x2+2x-3与x轴的两个交点分别为A、B,点A在点B的左侧,与y轴交于点C,顶点为D,直线y=kx+b经过点A、C;
(1)求点D的坐标和直线AC的解析式;
(2)点P为抛物线上的一个动点,求使得△ACP的面积与△ACD的面积相等的点P的坐标.
答案
(1)由抛物线解析式y=x2+2x-3=(x+1)2-4,
得D(-1,-4);(1分)
点A、C的坐标分别是A(-3,0),C(0,-3),
∵直线y=kx+b经过A、C两点,





b=-3
-3k-3=0






b=-3
k=-1

∴直线AC的解析式为y=-x-3;(2分)

(2)①过点D作与直线y=-x-3平行的直线,交抛物线于点P;
则S△ACP=S△ACD
设平移后的直线的解析式为y=-x+t,
∵点D的坐标为(-1,-4);
∴t=-5;
∴P(m,-m-5),
∴-m-5=m2+2m-3,
解得m=-1(舍去)或m=-2;
∴P(-2,-3);(4分)
②直线DP:y=-x-5与y轴的交点坐标为(0,-5),
则直线DP关于直线y=-x-3对称的直线l的解析式为y=-x-1,l交抛物线于P′,设P′(m′,-m′-1);
由于点P’在抛物线y=x2+2x-3上,
∴-m′-1=m′2+2m′-3;
解得m′=
-3+


17
2
或m′=
-3-


17
2
;(5分)
∴P′(
-3+


17
2
1-


17
2
)或P′(
-3-


17
2
1+


17
2
);(7分)
∴所求点P的坐标分别是(-2,-3),(
-3+


17
2
1-


17
2
),(
-3-


17
2
1+


17
2
).
举一反三
如图,在直角坐标系中,A(-1,0),B(0,2),一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动,P点的运动速度为每秒1个单位长度,射线BM与x轴交于点C.
(1)求点C的坐标.
(2)求过点A、B、C三点的抛物线的解析式.
(3)若P点开始运动时,Q点也同时从C点出发,以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动,t秒后,以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形.(点P到点C时停止运动,点Q也同时停止运动),求t的值.
(4)在(2)(3)的条件下,当CQ=CP时,求直线OP与抛物线的交点坐标.
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如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=
8


2
5
x2+bx+c经过点A(
3
2
,0)和点B(1,2


2
),与x轴的另一个交点为C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D在对称轴的右侧,x轴上方的抛物线上,且∠BDA=∠DAC,求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接BD,交抛物线对称轴于点E,连接AE.
①判断四边形OAEB的形状,并说明理由;
②点F是OB的中点,点M是直线BD的一个动点,且点M与点B不重合,当∠BMF=
1
3
∠MFO时,请直接写出线段BM的长.
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如图,已知过点(
3
2
,-
7
4
)的直线y=kx+b与x轴、y轴的交点分别为A、B,且经过第一、三、四象限,它与抛物线y=x2-4x+3只有一个公共点.
(1)求k的值;
(2)设抛物线的顶点为P,求点P到直线AB的距离d.
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天羽服装厂生产M、N型两种服装,受资金及规模限制,每天最多只能用A种面料68米和B种面料62米生产M、N型两种服装共80套.已知M、N型服装每套所需面料和成本如下表,设每天生产M型服装x套.
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AB成本
M型1.1m0.4m100元
N型0.6m0.9m80元
如图,已知y=x2-ax+a+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点D(0,8),直线CD平行于x轴,交抛物线于另一点C,动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿C⇒D运动,同时,点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿A⇒B运动,连接PQ,CB,设点P的运动时间t秒.(0<t<2).
(1)求a的值;
(2)当t为何值时,PQ平行于y轴;
(3)当四边形PQBC的面积等于14时,求t的值.