(1)将A(,0)、B(1,2)代入抛物线解析式y=x2+bx+c,得: , 解得:. ∴y=x2-8x+.
(2)当∠BDA=∠DAC时,BD∥x轴. ∵B(1,2), 当y=2时,2=x2-8x+, 解得:x=1或x=4, ∴D(4,2).
(3)①四边形OAEB是平行四边形. 理由如下:抛物线的对称轴是x=, ∴BE=-1=. ∵A(,0), ∴OA=BE=. 又∵BE∥OA, ∴四边形OAEB是平行四边形. ②∵O(0,0),B(1,2),F为OB的中点,∴F(,). 过点F作FN⊥直线BD于点N,则FN=2-=,BN=1-=. 在Rt△BNF中,由勾股定理得:BF==. ∵∠BMF=∠MFO,∠MFO=∠FBM+∠BMF, ∴∠FBM=2∠BMF. (I)当点M位于点B右侧时. 在直线BD上点B左侧取一点G,使BG=BF=,连接FG,则GN=BG-BN=1, 在Rt△FNG中,由勾股定理得:FG==. ∵BG=BF,∴∠BGF=∠BFG. 又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF, ∴∠BFG=∠BMF,又∵∠MGF=∠MGF, ∴△GFB∽△GMF, ∴=,即=, ∴BM=; (II)当点M位于点B左侧时. 设BD与y轴交于点K,连接FK,则FK为Rt△KOB斜边上的中线, ∴KF=OB=FB=, ∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF, 又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK, ∴∠BMF=∠MFK, ∴MK=KF=, ∴BM=MK+BK=+1=. 综上所述,线段BM的长为或. |