已知二次函数y=x2+kx+12k-72.(1)求证:不论k为任何实数,该函数的图象与x轴必有两个交点;(2)若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A(1,0)

已知二次函数y=x2+kx+12k-72.(1)求证:不论k为任何实数,该函数的图象与x轴必有两个交点;(2)若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A(1,0)

题型:房山区二模难度:来源:
已知二次函数y=x2+kx+
1
2
k-
7
2

(1)求证:不论k为任何实数,该函数的图象与x轴必有两个交点;
(2)若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A(1,0)的两侧,且关于x的一元二次方程k2x2+(2k+3)x+1=0有两个不相等的实数根,求k的整数值;
(3)在(2)的条件下,关于x的另一方程x2+2(a+k)x+2a-k2+6k-4=0 有大于0且小于3的实数根,求a的整数值.
答案
(1)证明:x2+kx+
1
2
k-
7
2
=0,
1=b2-4ac=k2-4(
1
2
k-
7
2

=k2-2k+14
=k2-2k+1+13
=(k-1)2+13>0,
∴不论k为任何实数,该函数的图象与x轴必有两个交点;

(2)∵二次函数y=x2+kx+
1
2
k-
7
2
的图象与x轴的两个交点在点(1,0)的两侧,且二次函数开口向上,
∴当x=1时,函数值y<0,
即1+k+
1
2
k-
7
2
<0,
解得:k<
5
3

∵关于x的一元二次方程k2x2+(2k+3)x+1=0有两个不相等的实数根,
∴k≠0且△2=b2-4ac=(2k+3)2-4k2=4k2+12k+9-4k2=12k+9>0,
∴k>-
3
4
且k≠0,
∴-
3
4
<k<
5
3
且k≠0,
∴k=1;

(3)由(2)可知:k=1,
∴x2+2(a+1)x+2a+1=0,
解得x1=-1,x2=-2a-1,
根据题意,0<-2a-1<3,
∴-2<a<-
1
2

∴a的整数值为-1.
举一反三
东方专卖店专销某种品牌的钢笔,进价12元/支,售价20元/支.为了促销,专卖店决定凡是买10支以上的,每多买一支,售价就降低0.10元(例如,某人买20支计算器,于是每只降价0.10×(20-10)=1元,就可以按19元/支的价格购买),但是最低价为16元/支.
(1)求顾客一次至少买多少支,才能以最低价购买?
(2)写出当一次购买x支时(x>10),利润y(元)与购买量x(支)之间的函数关系式;
(3)有一天,一位顾客买了46支,另一位顾客买了50支,专实店发现卖了50支反而比卖46支赚的钱少,为了使每次卖的多赚钱也多,在其他促销条件不变的情况下,最低价16元/支至少要提高到多少,为什么?
题型:淮安难度:| 查看答案
“百诚”公司投资750万元,成功研制出一种市场需求量较大的产品,并再投入资金1750万元进行相关生产设备的购买.已知生产过程中,每件产品的成本为60元.在销售过程中发现,当销售单价定为120元时,年销售量为24万件;销售单价每增加10元,年销售量将减少1万件.设销售单价为x(元)(x>120),年销售量为y(万件),第一年年获利(年获利=年销售额-生产成本-投资)为z(万元).
(1)请直接写出y与x之间,z与x之间的函数关系式:
______,______;
(2)计算销售单价为200元时的第一年年获利,请问公司此时亏损还是盈利?并说明为了得到同样的年获利,销售单价还可以定为多少元?
(3)公司计划:在第一年按年获利最大时确定的销售单价进行销售;第二年后总获利要不低于1840万元.请说明,第二年的销售单价x应确定在什么范围内.
题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线C1:y=-x2+2mx+1(m为常数,且m≠0)的顶点为A,与y轴交于点C;抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,其顶点为B.若点P是抛物线C1上的点,使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,则m为(  )
A.±


3
B.


3
C.±


2
D.


2
题型:西湖区模拟难度:| 查看答案
已知抛物线的顶点坐标是(2,1),且抛物线的图象经过(3,0)点,则这条抛物线的解析式是(  )
A.y=-x2-4x-3B.y=-x2-4x+3C.y=x2-4x-3D.y=-x2+4x-3
题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线的顶点坐标是(-3,-2),且过点(1,6),求抛物线的函数关系式.
题型:不详难度:| 查看答案
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