已知抛物线y=ax2经过点A(2,1) (1)求这个函数的解析式; (2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标; (3)求△OAB的面积; (4)抛物线上是
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已知抛物线y=ax2经过点A(2,1) (1)求这个函数的解析式; (2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标; (3)求△OAB的面积; (4)抛物线上是
题型:北京期中题
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来源:
已知抛物线y=ax
2
经过点A(2,1)
(1)求这个函数的解析式;
(2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标;
(3)求△OAB的面积;
(4)抛物线上是否存在点C,使△ABC的面积等于△OAB面积的一半?若存在,求出C点的坐标,若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)∵抛物线y=ax
2
经过点A(2,1),
∴4a=1,解得a=
,
∴这个函数的解析式为y=
x
2
;
(2)∵点A(2,1),
∴点A关于y轴的对称点B的坐标为(﹣2,1);
(3)∵点A(2,1),B(﹣2,1),
∴AB=2﹣(﹣2)=2+2=4,
S
△OAB
=
×4×1=2;
(4)假设存在点C,且点C到AB的距离为h, 则S△ABC=
AB﹒h=
×4h,
∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半,
∴
×4h=
×2,解得h=
,
①当点C在AB下面时,点C的纵坐标为1﹣
=
,
此时,
x
2
=
,解得x
1
=
,x
2
=﹣
,
点C的坐标为(
,
)或(﹣
,
),
②点C在AB的上面时,点C的纵坐标为1+
=
,
此时
x
2
=
,解得x
1
=
,x
2
=﹣
,
点C的坐标为(
,
)或(﹣
,
),
综上所述,存在点C(
,
)或(﹣
,
)或(
,
)或(﹣
,
),
使△ABC的面积等于△OAB面积的一半.
举一反三
如图,是某市一条河上一座古拱挢的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线拱桥处于正常水位时水面宽AB为26m,当水位上涨1m时,抛物线拱桥的水面宽CD为24m.现以水面AB所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)经过测算,水面离拱桥顶端1.5m时为警戒水位.某次洪水到来时,小明用仪器测得水面宽为10m,请你帮助小明算一算,此时水面是否超过警戒水位?
题型:山东省期末题
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题型:山东省期末题
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如图:抛物线经过A(﹣3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知AD=AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值;
(3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC有最小值?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(注:抛物线y=ax
2
+bx+c的对称轴为x=﹣
)
题型:山东省期末题
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一条抛物线y=x
2
+mx+n经过点(0,3)与(4,3).
(1)求这条抛物线的解析式,并写出它的顶点坐标;
(2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动的动圆,当⊙P与坐标轴相切时,求圆心P的坐标;
(3)⊙P能与两坐标轴都相切吗?如果不能,试通过上下平移抛物线y=x
2
+mx+n,使⊙P与两坐标轴都相切.(要说明平移方法)
题型:山东省期末题
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研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:第一年的年产量为x(吨)时,所需的全部费用y(万元)与x满足关系式y=
x
2
+5x+90,投入市场后当年能全部售出,且在甲、乙两地每吨的售价p
甲
,p
乙
(万元)均与x满足一次函数关系.(注:年利润=年销售额﹣全部费用)
(1)成果表明,在甲地生产并销售x吨时,P
甲
=﹣
x+14,请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额,并求年利润W
甲
(万元)与x之间的函数关系式;
(2)成果表明,在乙地生产并销售x吨时,P
乙
=﹣
+n(n为常数),且在乙地当年的最大年利润为35万元.试确定n的值;
(3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨,根据(1),(2)中的结果,请你通过计算帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润?参考公式:抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)的顶点坐标是
.
题型:山东省期末题
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