解:(1)把O(0,0)、A(5,0)分别代入y=x2+bx+c,
得,
解得;
∴该抛物线的解析式为y=x2﹣x;
(2)点C在该抛物线上.理由:过点C作CD⊥x轴于点D,连接OC,设AC交OB于点E
∵点B在直线y=2x上,
∴B(5,10)
∵点A、C关于直线y=2x对称,
∴OB⊥AC,CE=AE,BC⊥OC,OC=OA=5,BC=BA=10
又∵AB⊥x轴,由勾股定理得OB=
∵SRt△OAB=
∴AE=2,
∵AC=4;
∴∠OBA+∠CAB=90°,∠CAD+∠CAB=90°,∴∠CAD=∠OBA;
又∵∠CDA=∠OAB=90°,∴△CDA∽△OAB
∴==;CD=4,AD=8;C(﹣3,4)
当x=﹣3时,y=×9﹣×(﹣3)=4;
∴点C在抛物线y=x2﹣x上;
(3)抛物线上存在点Q,使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切;
过点P作PF⊥x轴于点F,连接O1P,过点O1作O1H⊥x轴于点H;
∴C(﹣3,4),B(5,10)
∵O1是BC的中点,
∴由平行线分线段成比例定理得AH=DH=AD=4,
∴OH=OA﹣AH=1,同理可得O1H=7,
∴点O1的坐标为(1,7)
∴BC⊥OC,⊙OC为⊙O1的切线;
又∵OP为⊙O1的切线,
|∴OC=OP=O1C=O1P=5
∴四边形OPO1C为正方形,
∴∠POF=∠OCD
又∵∠PFO=∠ODC=90°,
∴△POF≌△OCD
∴OF=CD,PF=OD,
∴P(4,3)
直线O1P的解析式为y=x+;
∴点Q的横坐标为或.
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