已知二次函数图象的顶点在原点O,对称轴为y轴.一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A,B两点(A在B的左侧),且A点坐标为(-4,4),平行于x轴的直
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已知二次函数图象的顶点在原点O,对称轴为y轴.一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A,B两点(A在B的左侧),且A点坐标为(-4,4),平行于x轴的直
题型:江苏期中题
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已知二次函数图象的顶点在原点O,对称轴为y轴.一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A,B两点(A在B的左侧),且A点坐标为(-4,4),平行于x轴的直线l过(0,-1)点。
(1)求一次函数与二次函数的解析式;
(2)判断以线段AB为直径的圆与直线
的位置关系,并给出证明;
(3)把二次函数的图象向右平移2个单位,再向下平移t个单位(t > 0),二次函数的图象与x轴交于M,N两点,一次函数图象交y轴于F点.当t为何值时,过F,M,N三点的圆的面积最小?最小面积是多少?
答案
解:(1)一次函数的解析式为
;
二次函数解析式为
.
(2)由
解得
或
,
,
过
点分别作直线
的垂线,垂足为
,
则
,
直角梯形
的中位线长为
,
过
作
垂直于直线
于点
,则
,
,
,
∴
的长等于
中点到直线
的距离的2倍,
∴以
为直径的圆与直线
相切.
(3)平移后二次函数解析式为
,
令y=0,得
,
,
,
∵过F,M,N三点的圆的圆心一定在直线x=2上,点
为定点,
∴要使圆面积最小,圆半径应等于点
到直线
的距离,半径为2,面积为
,
设圆心为C,MN中点为
,连CE,CM,则
,
在三角形
中,
,
,而
,
,
当
时,过F,M,N三点的圆面积最小,最小面积为
.
举一反三
已知二次函数
(1)若此二次函数的图象经过点(1,1),且记
两数中较大者为
P
,试求
P
关于
n
的函数关系式,并说明
P
的最小值.
(2)若
变化时,它们的图象是不同的抛物线,如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点,过这三个交点作圆,请说明这些圆都经过同一定点,并求出这个定点的坐标.
题型:江苏期中题
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如图,OB是矩形OABC的对角线,抛物线y=-x+x+6经过B、C两点。
(1)求点B的坐标;
(2)D、E分别是OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,过D、E的直线交x轴于F,试说明OE⊥ DF;
(3)若点M是(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由。
题型:江苏期中题
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如图,已知二次函数
y
=﹣
x
2
+
bx
+
c
的图象经过A(2,0)、B(0,﹣6)两点.
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)设该二次函数的对称轴与
x
轴交于点C,连结BA、BC,求△ABC的面积.
题型:河北省期末题
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如图,已知点A(3,0),以A为圆心作⊙A与
y
轴切于原点,与
x
轴的另一个交点为B,过B作⊙A的切线
l
.
(1)以直线
l
为对称轴的抛物线过点A及点C(0,9),求此抛物线的解析式;
(2)抛物线与
x
轴的另一个交点为D,过D作⊙A的切线DE,E为切点,求DE的长;
(3)点F是切线DE上的一个动点,当△BFD与△EAD相似时,求出BF的长.
题型:河北省期末题
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如图,在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸,正方形EFCG部分贴A型墙纸,△ABE部分贴B型墙纸
,其余部分贴C型墙纸.A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方米
60元、80元、40元.
(1)如果木板边长为2米,FC=1米,则一块木板用墙纸的费用需要
元.
(2)如果木板边长为1米,设正方形EFCG的边长为x(米)时,墙纸费用为y(元),求y与x的函数关系式;并求出当正方形EFCG的边长为多少时,墙纸费用最省;最省的费用为多少?
题型:河北省期末题
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