如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P在边OC上，点M在边AB上. 把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在B

题型：重庆市期中题难度：来源：

如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P在边OC上，点M在边AB上. 把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处。动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动，
（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；
（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由。

答案

解：（1）P（0，5），M（8，1）； （2）1⁰当0≤t≤5时，S=；
2⁰当5≤t≤8时，如图1，设EF与PM交点为R，
作RI⊥y轴，MS⊥y轴，
∵EO=FO，
∴RI=FI，
又∵，
∴RI=2PI，
∴FI=2PI，
∴FP=PI，PI=2PF，
∴PF=t-5，RI=2（t-5），
∴S=S_△OEF-S_△PRF
=
=。（3）1⁰如图2作PM的中垂线交正方形的边为点H₁，H₂，
则PH₁=MH₁，PH₂=MH₂，
∴点H₁，H₂即为所求点，
设OH₁=x，
∵PH₁=MH₁，
∴x²+5²=（8-x）²+1²，，
∴H₁（）；
同理，设CH₂=y， ∵PH₂=MH₂， ∴3²+y²=（8-y）²+7²，，
∴H₂（）；
2⁰当PM=PH₃时，
∵，
∴，
又∵PO=5，
∴，
∴；
3⁰当PM=MH₄时，
∵，
∴，
又∵BM=7，
∴，
∴；
综上，一共存在四个点，H₁（），H₂（），
。（4）∵∠PQN=90°，
∴∠CQP=∠BQN=90°，
又∵∠CQP+∠CPQ=90°，
∴∠CPQ=∠BQN，
又∵∠C=∠B=90°，
∴△CPQ∽△BQN，
设CQ=m，
则在Rt△CPQ中，
∵m²+CP²=（8-CP）²，
∴，
∴，
又∵△CPQ的周长=CP+PQ+CQ=8+m，
∴△BQN的周长==16，
∴△BQN的周长不发生变化，其值为16。