已知抛物线C1：y=-x2+2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，B

题型：湖北省中考真题难度：来源：

已知抛物线C₁：y=-x²+2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB。
注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为。

（1）请在横线上直接写出抛物线C₂的解析式：______；
（2）当m=1时，判定△ABC的形状，并说明理由；
（3）抛物线C₁上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由。

答案

解：（1）；（2）当时，为等腰直角三角形
理由如下：如图：
∵点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上，
∴AC=BC
过点A作抛物线C₁的对称轴交x轴于D，过点C作CE⊥AD于E
∴当m=1时，顶点A的坐标为A（1，1+n），
∴CE=1
又∵点C的坐标为（0，n），
∴AE=1+n-n=1
∴AE=CE
从而∠ECA=45°，
∴∠ACy=45°
由对称性知∠BCy=∠ACy=45°，
∴∠ACB=90°
∴△ABC为等腰直角三角形。（3）假设抛物线C₁上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PC=AB=BC
由（2）知，AC=BC，
∴AB=BC=AC
从而△ABC为等边三角形
∴∠ACy=∠BCy=30°
∵四边形ABCP为菱形，且点P在C₁上，
∴点P与点C关于AD对称
∴PC与AD的交点也为点E，
因此∠ACE=90°-30°=60°
∵点A，C的坐标分别为A（m，m²+n），C（0，n），
∴AE=m²+n-n=m²，CE=|m|
在Rt△ACE中，
∴
∴
故抛物线C₁上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，此时。