解:(1)∵OA=,AB=AC=2, ∴B(-,0),C(3,0), 连接AD,在Rt△AOD中,AD=2,OA=, ∴OD=, ∴D的坐标为(0,-3), 又D,C两点在抛物线上, ∴,解得, ∴抛物线的解析式为:, 当x=-时,y=0, ∴点B(-,0)在抛物线上; (2)∵=, ∴抛物线的对称轴方程为x=, 在抛物线的对称轴上存在点P,使△PBD的周长最小, ∵BD的长为定值, ∴要使△PBD周长最小只需PB+PD最小, 连接DC,则DC与对称轴的交点即为使△PBD周长最小的点, 设直线DC的解析式为y=mx+n, 由,得, ∴直线DC的解析式为, 由,得, 故点P的坐标为(,-2); (3)存在,设Q(,t)为抛物线对称轴x=上一点, M在抛物线上要使四边形BCQM为平行四边形, 则BC∥QM且BC=QM,点M在对称轴的左侧, 于是,过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M(xm,t), 由BC=QM得QM=4,从而xm=-3,t=12, 故在抛物线上存在点M(-,12),使得四边形BCQM为平行四边形。 |