解:(1)依题意得,解之得, ∴A(6,-3),B(-4,2); (2)作AB的垂直平分线交x轴,y轴于C,D两点, 交AB于M(如图1), 由(1)可知:OA=3,OB=2, ∴AB=5, ∴, 过B作BE⊥x轴,E为垂足, 由△BEO∽△OCM,得:, ∴OC=, 同理:, ∴, 设CD的解析式为y=kx+b(k≠0) ∴,∴, ∴AB的垂直平分线的解析式为:; (3)若存在点P使△APB的面积最大, 则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线y=-x+m上, 并设该直线与x轴,y轴交于G,H两点(如图2), ∴, ∴, ∵抛物线与直线只有一个交点, ∴, ∴m=, ∴P(1,) 在直线GH:中, ∴, ∴GH=, 设O到GH的距离为d, ∵, ∵, ∴d=, 又∵由AB∥GH, ∴P到AB的距离等于O到GH的距离d, ∴S最大面积=。 |
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