已知二次函数图象的顶点在原点O,对称轴为y轴,一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A,B两点(A在B的左侧),且A点坐标为(-4,4),平行于x轴的直

已知二次函数图象的顶点在原点O,对称轴为y轴,一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A,B两点(A在B的左侧),且A点坐标为(-4,4),平行于x轴的直

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已知二次函数图象的顶点在原点O,对称轴为y轴,一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A,B两点(A在B的左侧),且A点坐标为(-4,4),平行于x轴的直线l过(0,-1)点。

(1)求一次函数与二次函数的解析式;
(2)判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系,并给出证明;
(3)把二次函数的图象向右平移2个单位,再向下平移t个单位(t>0),二次函数的图象与x轴交于M,N两点,一次函数图象交y轴于F点,当t为何值时,过F,M,N三点的圆的面积最小,最小面积是多少?
答案

解:(1)把A(-4,4)代入y=kx+1得
∴一次函数的解析式为
∵二次函数图象的顶点在原点,对称轴为y轴,
∴设二次函数解析式为
把A(-4,4)代入
∴二次函数的解析式为
(2)由,解得
∴B
过A,B点分别作直线l的垂线,垂足为

∴直角梯形的中位线长为
过B作BH垂直于直线于点H,则


∴AB的长等于AB中点到直线l的距离的2倍,
∴以AB为直径的圆与直线l相切;
(3)平移后二次函数解析式为
令y=0,得
∵过F,M,N三点的圆的圆心一定在直线x=2上,点F为定点,
∴要使圆面积最小,圆半径应等于点F到直线x=2的距离,
此时,半径为2,面积为4π,
设圆心为C,MN中点为E,连CE,CM,则CE=1,
在三角形CEM中,NE=
,而
∴t=3,
使用当t=3时,过F,M,N三点的圆面积最小,最小面积为4π。

举一反三
已知关于x的二次函数,这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A,B两个不同的点。
(1)试判断哪个二次函数的图象可能经过A,B两点;
(2)若A点坐标为(-1,0),试求出B点坐标;
(3)在(2)的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x值的增大而减小。
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某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+42.5。

(1)求y关于x的函数关系式;
(2)写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额)当销售单价x为何值时,年获利最大?最大值是多少?(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围.在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?
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在平面直角坐标系中,已知A(0,3),B(4,0),设P、Q分别是线段AB、OB上的动点,它们同时出发,点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动,点Q以每秒1个单位的速度从点B向点O运动,设运动时间为t(秒)。
(1)用含t的代数式表示点P的坐标;
(2)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?
(3)在什么条件下,以Rt△OPQ的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线?选择一种情况,求出所确定的抛物线的解析式。
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某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm的简易废纸箱.如图1,废纸箱的一面利用墙,放置在地面上,利用地面作底,其它的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围成,经研究发现:由于废纸箱的高是确定的,所以废纸箱的横截面图形面积越大,则它的容积越大.

(1)该小组通过多次尝试,最终选定下表中的简便且易操作的三种横截面图形,如图2,是根据这三种横截面图形的面积y(cm2)与x(cm)(见表中横截面图形所示)的函数关系式而绘制出的图象.请你根据有信息,在表中空白处填上适当的数、式,并完成y取最大值时的设计示意图;
(2)在研究性学习小组展示研究成果时,小华同学指出:图2中“底角为60°的等腰梯形”的图象与其他两个图象比较,还缺少一部分,应该补画,你认为他的说法正确吗?请简要说明理由。

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王师傅有两块板材边角料,其中一块是边长为60cm的正方形板子;另一块是上底为30cm,下底为120cm,高为60cm的直角梯形板子(如图①),王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材,他将两块板子叠放在一起,使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合,两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域(如图②),由于受材料纹理的限制,要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。
(1)求FC的长;
(2)利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x(cm)为多少时,矩形的面积y(cm2)最大?最大面积是多少?
(3)若想使裁出的矩形为正方形,试求出面积最大的正方形的边长。
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