王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①），王师傅想将这两块板

题型：陕西省中考真题难度：来源：

王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。
（1）求FC的长；
（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm²）最大？最大面积是多少？
（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。

答案

解：（1）由题意，得△DEF∽△CGF，
∴，
∴，
∴FC=40（cm）；
（2）如图，设矩形顶点B所对顶点为P，则
①当顶点P在AE上时，x=60，
y的最大值为60×30=1800（cm²）
②当顶点P在EF上时，过点P分别作PN⊥BG于点N，PM⊥AB于点M，
根据题意，得△GFC∽△GPN，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当x=40时，y的最大值为2400（cm²）；
③当顶点P在FC上时，y的最大值为60×4=2400（cm²）；
综合①②③，得x=40cm时，矩形的面积最大，最大面积为2400cm²；
（3）根据题意，正方形的面积y（cm²）与边长x（cm）满足的函数表达式为：
，
当y=x²时，正方形的面积最大，
∴，
解之，得，
∴面积最大得正方形得边长为48cm。