△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,抛物线y=x2-2ax+b2交x轴于两点M,N,交y轴于点P,其中M的坐标是(a+c,0)。(1)求证:△A
题型:四川省中考真题难度:来源:
△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,抛物线y=x2-2ax+b2交x轴于两点M,N,交y轴于点P,其中M的坐标是(a+c,0)。 (1)求证:△ABC是直角三角形; (2)若S△MNP=3S△NOP,①求cosC的值;②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值,使三角形MND(D为抛物线的顶点)是等腰直角三角形?如能,请求出这组值;如不能,请说明理由。 |
答案
解:(1)证明:∵抛物线y=x2-2ax+b2经过点M(a+c,0), ∴(a+c)2-2a(a+c)+b2=0, ∴ , ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191020/20191020163512-87268.gif) 由勾股定理的逆定理得:△ABC为直角三角形; (2)①如图所示; ∵S△MNP=3S△NOP, ∴MN=3ON即MO=4ON, 又M(a+c,0), ∴N( ,0) ∴a+c, 是方程x2-2ax+b2=0的两根, ∴(a+c)+ =2a, ∴c= a, 由(1)知:在△ABC中,∠A=90°, 由勾股定理得b= a, ∴cosC= = ; ②能; 由(1)知 , ∴顶点D(a,-c2), 过D作DE⊥x轴于点E,则NE=EM,DN=DM 要使△MND为等腰直角三角形, 只须ED= MN=EM, ∵M(a+c,0),D(a,-c2), ∴DE=c2,EM=c, ∴c2=c,又c>0, ∴c=1, 由于 , ∴ , 当 时,△MNP为等腰直角三角形。 | ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191020/20191020163516-19197.gif) |
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