△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,抛物线y=x2-2ax+b2交x轴于两点M,N,交y轴于点P,其中M的坐标是(a+c,0)。(1)求证:△A
题型:四川省中考真题难度:来源:
△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,抛物线y=x2-2ax+b2交x轴于两点M,N,交y轴于点P,其中M的坐标是(a+c,0)。 (1)求证:△ABC是直角三角形; (2)若S△MNP=3S△NOP,①求cosC的值;②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值,使三角形MND(D为抛物线的顶点)是等腰直角三角形?如能,请求出这组值;如不能,请说明理由。 |
答案
解:(1)证明:∵抛物线y=x2-2ax+b2经过点M(a+c,0), ∴(a+c)2-2a(a+c)+b2=0, ∴, ∴ 由勾股定理的逆定理得:△ABC为直角三角形; (2)①如图所示; ∵S△MNP=3S△NOP, ∴MN=3ON即MO=4ON, 又M(a+c,0), ∴N(,0) ∴a+c,是方程x2-2ax+b2=0的两根, ∴(a+c)+=2a, ∴c=a, 由(1)知:在△ABC中,∠A=90°, 由勾股定理得b=a, ∴cosC==; ②能; 由(1)知, ∴顶点D(a,-c2), 过D作DE⊥x轴于点E,则NE=EM,DN=DM 要使△MND为等腰直角三角形, 只须ED=MN=EM, ∵M(a+c,0),D(a,-c2), ∴DE=c2,EM=c, ∴c2=c,又c>0, ∴c=1, 由于, ∴, 当时,△MNP为等腰直角三角形。 | |
举一反三
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