如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且12a+

如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且12a+

题型:四川省中考真题难度:来源:
如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且12a+5c=0。
(1)求抛物线的解析式;
(2)如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动。
①移动开始后第t秒时,设S=PQ2(cm2),试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取得最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标,如果不存在,请说明理由。
答案
解:(1)据题意知:A(0,-2),B(2,-2),
∵A点在抛物线上,
∴C=-2,
∵12a+5c=0,
∴a=
由AB=2知抛物线的对称轴为:x=1,
即:
∴抛物线的解析式为:
(2)①由图象知:PB=2-2t,BQ=t,
∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2-2t)2+t2,即S=5t2-8t+4(0≤t≤1);
②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,
∵S=5t2-8t+4(0≤t≤1),
∴S=(0≤t≤1),
∴当t=时,S取得最小值
这时PB=2-=0.4,BQ=0.8,P(1.6,-2),Q(2,-1.2)
分情况讨论:
A】假设R在BQ的右边,这时QR平行且等于PB,则:
R的横坐标为2.4,R的纵坐标为-1.2,即(2.4,-1.2)
代入,左右两边相等,
∴这时存在R(2.4,-1.2)满足题意;
B】假设R在BQ的左边,这时PR平行且等于QB,则:
R的横坐标为1.6,纵坐标为-1.2,即(1.6,-1.2)
代入,左右两边不相等,R不在抛物线上;
C】假设R在PB的下方,这时PR平行且等于QB,则:
R(1.6,-2.4)
代入,左右不相等,R不在抛物线上;
综上所述,存点一点R(2.4,-1.2)满足题意。
举一反三
如图,∠AOB=45°,过OA上到点O的距离分别为1,2,3,4,5 …的点作OA的垂线与OB相交,再按一定规律标出一组如图所示的黑色梯形,设前n个黑色梯形的面积和为Sn

(1)请完成下面的表格:

(2)已知Sn与n之间满足一个二次函数关系,试求出这个二次函数的解析式。
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二次函数的图象如图所示,过y轴上一点M(0,2)的直线与抛物线交于A,B两点,过点A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D。
(1)当点A的横坐标为-2时,求点B的坐标;
(2)在(1)的情况下,分别过点A,B作AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,在EF上是否存在点P,使∠APB为直角?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当点A在抛物线上运动时(点A与点O不重合),求AC·BD的值。
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在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1经过点A(-2,0)和点B(0,),直线l2的函数表达式为,l1与l2相交于点P,⊙C是一个动圆,圆心C在直线l1上运动,设圆心C的横坐标是a,过点C作CM⊥x轴,垂足是点M。

(1)填空:直线l1的函数表达式是____,交点P的坐标是____,∠FPB的度数是____;
(2)当⊙C和直线l2相切时,请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R,并写出R=时a的值;
(3)当⊙C和直线l2不相离时,已知⊙C的半径R=,记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与l2的交点),S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时a的值;若不存在,请说明理由。
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如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm.设P,Q分别为BD,BC上的动点,在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时,点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动,移动的速度均为1cm/s,设P,Q移动的时间为t(0<t≤4)。
(1)写出△PBQ的面积S(cm2)与时间t(s)之间的函数表达式,当t为何值时,S有最大值,最大值是多少?
(2)当t为何值时,△PBQ为等腰三角形?
(3)△PBQ能否成为等边三角形?若能,求t的值;若不能,说明理由。
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如图,Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点B在y轴上,OB=,∠BAO=30度,将Rt△AOB折叠,使BO边落在BA边上,点O与点D重合,折痕为BC。

(1)求直线BC的解析式;
(2)求经过B,C,A三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式;若抛物线的顶点为M,试判断点M是否在直线BC上,并说明理由。
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