已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点。（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等

题型：北京中考真题难度：来源：

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点 E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。

答案

解：（1）根据题意，c=3
所以

解得

所以抛物线解析式为

。
（2）依题意可得OA的三等分点分别为（0，1），（0，2）
设直线CD的解析式为y=kx+b
当点D的坐标为（0，1）时，直线CD的解析式为y=

当点D的坐标为（0，2）时，直线CD的解析式为y=

。（3）如图，由题意，可得M（0，

）
点M关于x轴的对称点为M"（0，-

）
点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A"（6，3）
连结A"M"
根据轴对称性及两点间线段最短可知，A"M"的长就是所求点P运动的最短总路径的长
所以A"M"与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点
可求得直线A"M"的解析式为y=

可得E点坐标为（2，0），F点坐标为（3，

）
由勾股定理可求出A"M"=

所以点P运动的最短总路径（ME+EF+FA）的长为

。

举一反三

等边三角形纸片ABC和C"D"E"的边长分别为

和2。

（1）如图1，将△C"D"E"放在△ABC上，使得C"和C重合，且D"和E"分别AC在AC和BC上，固定△ABC，将△C"D"E"绕点C逆时针旋转30°得到△C"DE（如图2），连接AD、BE，C"E的延长线交AB于F，试判断线段BE与AD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图，若将△C"DE继续移动，使其在线段CF上沿着CF的方向以每秒1个单位的速度平移，如图3，设△C"DE移动的时间为x秒，△C"DE与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。

题型：北京模拟题难度：| 查看答案

将一条抛物线y=x²+x+

以其顶点为中心旋转180°后，与x轴正半轴交于A点，与y 轴交于B点，在第二象限内存在一点C（a，1），顺次连接A、B、C、O得到一个四边形，过B 点作直线l将此图形分成面积相等的两部分，求：
（1）旋转后的抛物线解析式；
（2）直线l的解析式。（用a表示）

题型：北京模拟题难度：| 查看答案

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，-1），B（0，-2），C（1，1）。
求：（1）抛物线的解析式以及它的对称轴；
（2）求这个函数的最值。

题型：北京期中题难度：| 查看答案

已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线l₁的解析式为y=-x²，将抛物线l₁平移后得到抛物线l₂，若抛物线l₂经过点（0，2），且其顶点A的横坐标为最小正整数。

（1）求抛物线l₂的解析式；
（2）说明将抛物线l₁如何平移得到抛物线l₂；
（3）若将抛物线l₂沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线l₃，设抛物线l₂的顶点为B，直线OB与抛物线l₃的另一个交点为C，当OB=OC时，求点C的坐标。

题型：北京期中题难度：| 查看答案

如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB。

（1）求证：mn=-6；
（2）当S_△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S_△POF：S_△QOF=1：3？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。

题型：山东省中考真题难度：| 查看答案